MATHEMAFFECTION

Quote ini nanti isinya quote. Soal Nomor 1 Buktikan $u(x,y)$ harmonik dalam domain definisinya, dan tentukan fungsi $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ jika $u(x,y)=\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}$. Pembahasan $u(x,y)=\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}$ $\begin{aligned} u_x&=\frac{(x^2+y^2)-x(2x)}{(x^2+y^2)^2} \\ &=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} \end{aligned}$ $\begin{aligned} u_{xx}&=\frac{(-2x)(x^2+y^2)^2-(y^2-x^2)2(x^2+y^2)2x}{(x^2+y^2)^4} \\ &=\frac{(-2x)(x^4+2x^2y^2+y^4)-4x(y^4-x^4)}{(x^2+y^2)^4} \\ &=\frac{2x^5-4x^3y^2-6xy^4}{(x^2+y^2)^4} \end{aligned}$ $\begin{aligned} u_y&=\frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2} \end{aligned}$ $\begin{aligned} u_{yy}&=\frac{(-2x)(x^2+y^2)^2-(-2xy)2(x^2+y^2)2y}{(x^2+y^2)^4} \\ &=\frac{(-2x)(x^4+2x^2y^2+y^4)+8xy^2(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^4} \\ &=\frac{-2x^5+4x^3y^2+6xy^4}{(x^2+y^2)^4} \end{aligned}$ Perhatikan bahwa $u_{xx}+u_{yy}=\displaystyle ...

Quote by Pam Leo You cannot teach children to behave better by making them feel worse. When children feel better, they behave better. Soal Nomor 1 Buatlah suatu matriks yang memenuhi semua kriteria berikut. Berordo $4\times 5$ Rank $=3$ Matriks bentuk kanonik Elemennya memuat bilangan-bilangan: $0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$ (boleh berulang) Pembahasan Pertama, buat matriks $4\times 5$ dengan rank 3, untuk mempermudah gunakan matriks $3\times 3$ untuk elemennya. $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$ Karena matrix berbentuk kanonik, maka baris ke-4 elemennya adalah $0$ semua. Kemudian ganti elemen pada kolom ke-4 da...

Quote ini nanti isinya quote. Soal Nomor 1 Variabel random berukuran $n$ dari suatu distribusi yang memiliki CDF $F(x)=1-x^{-2}, x\geq 1$. Tentukan limit distribusi dari $n^{\frac1{2}}X_{n:n}$ Pembahasan $\begin{aligned} F_{\sqrt{n}X_{n:n}}&=P\left(\sqrt{n}X_{n:n}\leq y\right)\\ &=P\left(X_{n:n}\leq \frac{y}{\sqrt{n}}\right)\\ &=F_{X_{n:n}}\left(\frac{y}{\sqrt{n}}\right) \\ &=\left(1-\left(\frac{y}{\sqrt{n}}\right)^{-2}\right)^n \end{aligned}$ $\lim\limits_{n\to \infty } \left(1-\left(\frac{y}{\sqrt{n}}\right)^{-2}\right)^n =\infty$ Jadi, $F_{\sqrt{n}X_{n:n}}(y)$ tidak punya limit distribusi. Tambahan Sebagai contoh lain dengan fungsi $F(x)$ yang sama, akan dicari limit distribusi dari $X_{n:n}$ dan $n^{-\frac1{2}}X_{n:n}$. $\textbf{a.}$ Untuk $X_{n:n}$ $\begin{aligned} F_{X_{n:n}}&=P\left(X_{n:n}\leq y\right)\\ &=\left(1-\frac1{y^2}\right)^n \end{aligned}$ $\lim\limits_{n...

Quote ini nanti isinya quote. Soal Nomor 1 Sketsa baji yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang $x=5$ dan $y+2z-4=0$. Tunjukkan bahwa volume tetrahedron tersebut $20$ satuan. Pembahasan Sketsa dari tetrahedron tersebut adalah sebagai berikut. Pertama ubah persamaan $y+2z-4=0$ menjadi $z=\frac{4-y}{2}$, sehingga volume tetrahedron tersebut adalah $\begin{aligned} V&=\int_0^5\int_0^4 \left(\frac{4-y}{2}\right)\ dydx \\ &=\int_0^5\int_0^4 \left(2-\frac1{2}y\right)\ dydx \\ &=\int_0^5 4\ dx \\ &=20 \end{aligned}$ Terbukti. $\blacksquare$ Soal Nomor 2 Hitung $\displaystyle\iint\limits_S e^{x^2+y^2}\ dA$ di kuadran pertama menggunakan koordinat kutub dan dibatasi oleh $x^2+y^2=4$ di antara $y=0$ dan $y=x$ Pembahasan Sketsa dari daerah tersebut adalah sebagai berikut. Karena dibatasi garis $y=0$ dan $y=x$, maka nilai $\theta$ adalah $\frac{\pi}{4}$ Dengan koordinat kutub, maka int...

Quote ini nanti isinya quote. A. Perlihatkan bahwa: Soal Nomor 1 Jika $y=x^2\ln x^2 +(\ln x)^2$ maka $\frac{dy}{dx}=2x\left(\ln ex^{2+\frac{1}{x^2}}\right)$ Pembahasan $\begin{aligned} y&=x^2\ln x^2 +(\ln x)^2 \\ &=x^2\cdot 2\ln x+(\ln x)^2 \\ \frac{dy}{dx}&=x^2\cdot\frac{2}{x}+2x\cdot 2\ln x+2\ln x\cdot\frac{1}{x} \\ &=2x+2x\ln x^2+\frac{2}{x}\ln x \\ &= 2x\left(1+\ln x^2+\frac{1}{x^2}\ln x\right)\\ &=2x\left(1+\ln x^2+\ln x^{\frac{1}{x^2}}\right)\\ &=2x\left(1+\ln x^{2+\frac{1}{x^2}}\right)\\ &=2x\left(\ln e+\ln x^{2+\frac{1}{x^2}}\right)\\ &=2x\left(\ln ex^{2+\frac{1}{x^2}}\right) \end{aligned}$ Terbukti. $\blacksquare$ Soal Nomor 2 Jika $y=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ maka $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ Pembahasan $\begin{aligned} y&=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right) \\ \frac{dy}{dx}&=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\frac{d}{dx}\lef...

Quote ini nanti isinya quote. Soal Nomor 1 Hitung integral berikut a. $\displaystyle\int\left((x+1)\tan^2\left(3x^2+6x\right)\sec^2\left(3x^2+6x\right)\right)\ dx$ b. $\displaystyle\int_{-1}^1 \frac{\left(y^2+y+1\right)}{\sqrt[5]{2y^3+3y^2+6y}}\ dy$ Pembahasan a. Misalkan $u=3x^2+6x$ dan $du=6(x+1)\ dx$ $=\displaystyle\frac{1}{6}\int\tan^2(u)\sec^2(u)\ du$ Misalkan $s=\tan(u)$ dan $ds=\sec^2(u)\ du$ $\begin{aligned} &=\frac{1}{6}\int s^2\ ds \\ &=\frac{s^3}{18}+C \\ &=\frac{\tan^3(u)}{18}+C \\ &=\boxed{\frac{1}{18}\tan^3(3x^2+6x)+C}\\ \end{aligned}$ b. Misalkan $u=2y^3+3y^2+6y$ dan $du=6(y^2+y+1)\ dx$ $\begin{aligned} &=\frac{1}{6}\int \frac{1}{\sqrt[5]{u}}\ du \\ &=\frac{5u^{4/5}}{24}\Bigg|_{-1}^{1} \\ &=\boxed{\frac{-5}{24}\left((-5)^{4/5}-11^{4/5}\right)}\\ \end{aligned}$ Soal Nomor 2 Carilah $G'(x)$ untuk $\displaystyle G(x)=\int_0^x \left(\int_0...

Quote ini nanti isinya quote. Soal Nomor 1 Buktikan bahwa $\frac{\partial^2f}{\partial y \partial x}-\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}=0$ jika $f(x,y)=3e^{2x}\cos y$ Pembahasan Dengan menggunakan Aturan Rantai didapatkan $\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial y}\left(3e^{2x}\cos y\right)&=-3e^{2x}\sin y \\ \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}\left(3e^{2x}\cos y\right)&=-6e^{2x}\sin y \\ \frac{\partial f}{\partial x}\left(3e^{2x}\cos y\right)&=6e^{2x}\cos y \\ \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\left(3e^{2x}\cos y\right)&=-6e^{2x}\sin y \end{aligned}$ $$\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}-\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=-6e^{2x}\sin y-(-6e^{2x}\sin y)=0$$ Terbukti. $\blacksquare$ Soal Nomor 2 Buktikan bahwa $2x+y-z=4$ adalah persamaan bidang singgung permukaan $x^2+y^2-z^2=4$ pada titik $\left(2,1,1\right)$ Pembahasan Dari soal didapatkan $f_x(x,y,z)=2$, $f_y(x,y,z)...

Quote ini nanti isinya quote. Soal Nomor 1 Buktikan bahwa $\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=0$ jika $f(x,y)=\ln \left(4x^2+4y^2\right)$ Pembahasan Dengan menggunakan Aturan Rantai didapatkan $\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}\left(\ln \left(4x^2+4y^2\right)\right)&=\frac{\partial \left(\ln \left(4x^2+4y^2\right)\right)}{\partial (4x^2+4y^2)}\cdot \frac{\partial (4x^2+4y^2)}{\partial x} \\ &=\frac1{4x^2+4y^2}\cdot 8x \\ &=\frac{2x}{x^2+y^2} \end{aligned}$ Untuk turunan kedua, misalkan $u=2x$ dan $v=x^2+y^2$ $\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{u}{v}\right)&=\frac{v\frac{\partial u}{\partial x}-u\frac{\partial v}{\partial x}}{v^2} && \\ &=\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(\frac{\partial}{\partial x} (2x)\right)-2x\left(\frac{\partial}{\partial x}\left(x^2+y^2\right)\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2} \\ &=\frac{2x^2+2y^2-2x\left(2x\right)}{\left(x...

Quote by Nicolas Bourbaki Structures are the weapons of the mathematicians Soal Nomor 1 Jika $z_1$ dan $z_2$ adalah bilangan kompleks, maka buktikan $|z_1z_2|=|z_1||z_2|$ dan $\displaystyle \left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$. Pembahasan Perhatikan bahwa $z \cdot \overline{z} = (a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2 = |z|^2$. Sehingga berlaku $\begin{aligned} |z_1 \cdot z_2|^2 &=(z_1 \cdot z_2) \overline{(z_1 \cdot z_2)} \\ &=z_1 \cdot z_2 \cdot \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} \\ &=z_1 \cdot \overline{z_1} \cdot z_2 \cdot \overline{z_2} \\ &=|z_1|^2 |z_2|^2 \end{aligned}$ Karena nilai mutlak adalah non-negatif, maka berlaku $|z_1z_2|=|z_1||z_2|~~~~\blacksquare$ $\begin{aligned} \left|\frac{z_1}{z_2}\right|^2&=\frac{z_1}{z_2} \cdot \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} \\ &=\frac{z_1}{z_2} \cdot \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} \\ &=\frac{z_1 \cdot \overl...

Quote by Pam Leo You cannot teach children to behave better by making them feel worse. When children feel better, they behave better. Soal Nomor 1 Salah satu syarat suatu matriks mempunyai invers adalah determinannya $\neq 0$. Dengan mengunakan transformasi elementer, selidiki apakah $A= \begin{bmatrix} 1 & -1 & 3 & 2 \\ -2 & 1 & 5 & 1 \\ -3 & 2 & 2 & -1 \\ 4 & -3 & 1 & 3 \end{bmatrix}\ \text{dan}\ B= \begin{bmatrix} 0 & -1 & -2 & -3 \\ 1 & 1 & 4 & 4 \\ 1 & 3 & 7 & 9 \\ -1 & -2 & -4 & -6 \end{bmatrix} $ mempunyai invers. Jika ya, tentukan inversnya. Pembahasan Untuk menghitung determinan dari matriks tersebut, digunakan metode Operasi Baris Elementer untuk membentuk matriks segitiga, sehingga determinannya adalah perkalian dari diagonal utama dari matriks tersebut. $\textbf{$\S$ Determinan matriks A}$ $$\begin{array}{c} \begin{vma...