Soal dan Pembahasan - Ujian Akhir Semester Matriks - Prodi Pendidikan Matematika FKIP ULM (Bagian 2)

Quote by Pam Leo

You cannot teach children to behave better by making them feel worse. When children feel better, they behave better.

Soal Nomor 1
Buatlah suatu matriks yang memenuhi semua kriteria berikut.

  1. Berordo $4\times 5$
  2. Rank $=3$
  3. Matriks bentuk kanonik
  4. Elemennya memuat bilangan-bilangan: $0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$ (boleh berulang)

Pertama, buat matriks $4\times 5$ dengan rank 3, untuk mempermudah gunakan matriks $3\times 3$ untuk elemennya. $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$ Karena matrix berbentuk kanonik, maka baris ke-4 elemennya adalah $0$ semua. Kemudian ganti elemen pada kolom ke-4 dan ke-5 tanpa mengganti elemen pada baris ke-4 dengan kriteria nomor 4, $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & 7 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$ Jadi, matriks yang memenuhi kriteria tersebut adalah $$\boxed{ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & 7 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}} $$

Soal Nomor 2
Selidiki apakah matriks berikut mempunyai invers. Tentukan inversnya jika ada.

  1. $A= \begin{bmatrix} 3 & -2 & 0 & -8 \\ 0 & 0 & 15 & 0 \\ -1 & 1 & -3 & 4 \\ 9 & 3 & 4 & 12 \end{bmatrix}$

  2. $B= \begin{bmatrix} -2 & 0 & -1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -3 & 0 & 4 & 3 & 0 \end{bmatrix}$

Untuk matriks persegi, jika determinannya $\neq 0$ maka mempunyai invers.
Untuk matriks $m\times n$, jika rank $=m$ maka mempunyai invers.
Untuk matriks A
$\begin{aligned} \det (A)&= 15 \begin{vmatrix} 3 & -2 & -8 \\ -1 & 1 & 4 \\ 9 & 3 & 12 \end{vmatrix} \\ &=15\cdot 0 \end{aligned}$
Determinan dari matriks $A$ adalah $0$
Jadi, matriks $A$ tidak mempunyai invers.
Untuk matriks B
Kita akan mencari matriks $B^{-1}$ yang memenuhi $B(B^{-1})=I$.
Dengan melakukan operasi baris elementer, didapatkan rank matriks $B$ adalah 3, sehingga matriks $B$ mempunyai invers. (Penghitungan operasi baris elementer diserahkan ke pembaca.)

$$ \begin{bmatrix} -2 & 0 & -1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -3 & 0 & 4 & 3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \\ x_4 & y_4 & z_4 \\ x_5 & y_5 & z_5 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 1 \end{bmatrix} $$

Misalkan $x_2 = y_2 = z_2=x_4 = y_4 = z_4=0$ (permisalan tidak dilakukan secara acak, tetapi menenyesuaikan agar determinan matrix tidak sama dengan nol), sehingga didapatkan

$$ \begin{bmatrix} -2 & 0 & -1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -3 & 0 & 4 & 3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ 0 & 0 & 0 \\ x_3 & y_3 & z_3 \\ 0 & 0 & 0 \\ x_5 & y_5 & z_5 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 1 \end{bmatrix} $$

Hilangkan baris kedua dan keempat dan didapatkan
$\begin{aligned} \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_3 & y_3 & z_3 \\ x_5 & y_5 & z_5 \end{bmatrix} &=\begin{bmatrix} -2 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ -3 & 4 & 0 \end{bmatrix}^{-1} \\ &=\frac{1}{8} \begin{bmatrix} 0 & 8 & 0 \\ 0 & 6 & 2 \\ 4 & 11 & 1 \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{11}{8} & \frac{1}{8} \end{bmatrix} \\ B^{-1}&= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{11}{8} & \frac{1}{8} \end{bmatrix} \end{aligned}$
Untuk memverifikasi matriks $B^{-1}$ memenuhi $B(B^{-1})=I$, silakan hitung secara manual perkalian di bawah ini.

$$ \begin{bmatrix} -2 & 0 & -1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -3 & 0 & 4 & 3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{11}{8} & \frac{1}{8} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 1 \end{bmatrix} $$

Jadi, invers matriks $B$ adalah $$\boxed{\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{11}{8} & \frac{1}{8} \end{bmatrix}}$$

Soal Nomor 3
Selidiki apakah ada untuk sebarang matriks yang diubah menjadi bentuk normal hanya menggunakan transformasi elementer baris atau transformasi elementer kolom (tidak keduanya)?
Jika ada, konstruksilah matriks tersebut dan identifikasi sifat matriks yang memenuhi ketentuan tersebut.

Ada, ada 2 kondisi. Pertama, yaitu jika $m<n$ pada matriks $A_{m\times n}$ hanya bisa dilakukan transformasi elementer kolom. Kedua, yaitu jika $m>n$ pada matriks $A_{m\times n}$ hanya bisa dilakukan transformasi elementer baris. Untuk mengkonstruksinya, pada kondisi pertama kita pilih matriks normal $\begin{bmatrix}I_2 & 0\end{bmatrix}$ dan kondisi kedua kita pilih matriks normal $\begin{bmatrix}I_2 \\ 0\end{bmatrix}$
Kondisi Pertama $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \\ \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}\\ \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}\\ \sim \begin{bmatrix} 3 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix} $$ Jadi, contoh matriks yang bisa diubah menjadi bentuk normal dengan transformasi elementer kolom adalah $$\boxed{\begin{bmatrix} 3 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix}}$$ Kondisi kedua $$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \\ \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \\ \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} \\ \sim \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 4 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} $$ Jadi, contoh matriks yang bisa diubah menjadi bentuk normal dengan transformasi elementer baris adalah $$\boxed{\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 4 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}}$$

Soal Nomor 4
Buktikan $\text{adj}(\text{adj}\ A)=|A|^{n-2}$, jika $|A|\neq 0$

Diketahui bahwa $A^{-1}=\frac{1}{\det (A)}\text{adj} (A)$ sehingga didapatkan $$\text{adj} (A)=\det (A)A^{-1}$$ Kalikan kedua ruas dengan $\left(\text{adj (A)}\right)^{-1}$

$\begin{aligned} {(adj(A))^{ - 1}}adj(A)&= \det (A){(adj(A))^{ - 1}}{A^{ - 1}}\\ I &= \det (A){(adj(A))^{ - 1}}{A^{ - 1}} \end{aligned}$


Kalikan kedua ruas dengan $A$ $$IA = \det (A){(adj(A))^{ - 1}}{A^{ - 1}}A$$ $$IA = \det (A){(adj(A))^{ - 1}}$$
Bagi kedua ruas dengan $\det (A)$ $$\frac{A}{\det (A)}=\left(\text{adj}(A)\right)^{-1}\ . \ . \ . \ . \ (1)$$ Untuk mencari invers dari $adj (A)$ gunakan rumus yang umum digunakan untuk mencari inversnya

$\begin{aligned} {(adj(A))^{ - 1}}&= adj(adjA)\det (adj(A))\\ \text{adj}(\text{adj}A) &= \det (\text{adj}(A)){(\text{adj}(A))^{ - 1}}\ . \ . \ . \ . \ (2) \end{aligned}$


Sekarang gunakan rumus $\det (adjA) = {(\det (A))^{n - 1}}$, substitusi ke persamaan $(2)$ dan substitusi persamaan $(1)$ ke persamaan $(2)$
$\begin{aligned} adj(adj(A)) &= {(\det (A))^{n - 1}}.{A \over {\det (A)}}\\ adj(adj(A)) &= {(\det (A))^{n - 2}}.A \end{aligned}$
Terbukti. $\blacksquare$

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Soal dan Pembahasan - Ujian Akhir Semester Kalkulus Lanjut - Prodi Pendidikan Matematika FKIP ULM

Image
Quote ini nanti isinya quote. Soal Nomor 1 Sketsa baji yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang $x=5$ dan $y+2z-4=0$. Tunjukkan bahwa volume tetrahedron tersebut $20$ satuan. Pembahasan Sketsa dari tetrahedron tersebut adalah sebagai berikut. Pertama ubah persamaan $y+2z-4=0$ menjadi $z=\frac{4-y}{2}$, sehingga volume tetrahedron tersebut adalah $\begin{aligned} V&=\int_0^5\int_0^4 \left(\frac{4-y}{2}\right)\ dydx \\ &=\int_0^5\int_0^4 \left(2-\frac1{2}y\right)\ dydx \\ &=\int_0^5 4\ dx \\ &=20 \end{aligned}$ Terbukti. $\blacksquare$ Soal Nomor 2 Hitung $\displaystyle\iint\limits_S e^{x^2+y^2}\ dA$ di kuadran pertama menggunakan koordinat kutub dan dibatasi oleh $x^2+y^2=4$ di antara $y=0$ dan $y=x$ Pembahasan Sketsa dari daerah tersebut adalah sebagai berikut. Karena dibatasi garis $y=0$ dan $y=x$, maka nilai $\theta$ adalah $\frac{\pi}{4}$ Dengan koordinat kutub, maka int...
Read more

Soal dan Pembahasan - Ujian Tengah Semester Kalkulus II Tahun 2020 - Prodi Pendidikan Matematika FKIP ULM

Quote ini nanti isinya quote. Soal Nomor 1 Hitung integral berikut a. $\displaystyle\int\left((x+1)\tan^2\left(3x^2+6x\right)\sec^2\left(3x^2+6x\right)\right)\ dx$ b. $\displaystyle\int_{-1}^1 \frac{\left(y^2+y+1\right)}{\sqrt[5]{2y^3+3y^2+6y}}\ dy$ Pembahasan a. Misalkan $u=3x^2+6x$ dan $du=6(x+1)\ dx$ $=\displaystyle\frac{1}{6}\int\tan^2(u)\sec^2(u)\ du$ Misalkan $s=\tan(u)$ dan $ds=\sec^2(u)\ du$ $\begin{aligned} &=\frac{1}{6}\int s^2\ ds \\ &=\frac{s^3}{18}+C \\ &=\frac{\tan^3(u)}{18}+C \\ &=\boxed{\frac{1}{18}\tan^3(3x^2+6x)+C}\\ \end{aligned}$ b. Misalkan $u=2y^3+3y^2+6y$ dan $du=6(y^2+y+1)\ dx$ $\begin{aligned} &=\frac{1}{6}\int \frac{1}{\sqrt[5]{u}}\ du \\ &=\frac{5u^{4/5}}{24}\Bigg|_{-1}^{1} \\ &=\boxed{\frac{-5}{24}\left((-5)^{4/5}-11^{4/5}\right)}\\ \end{aligned}$ Soal Nomor 2 Carilah $G'(x)$ untuk $\displaystyle G(x)=\int_0^x \left(\int_0...
Read more

Soal dan Pembahasan - Ujian Akhir Semester Fungsi Kompleks A 2020 - Prodi Pendidikan Matematika FKIP ULM

Quote ini nanti isinya quote. Soal Nomor 1 Buktikan $u(x,y)$ harmonik dalam domain definisinya, dan tentukan fungsi $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ jika $u(x,y)=\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}$. Pembahasan $u(x,y)=\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}$ $\begin{aligned} u_x&=\frac{(x^2+y^2)-x(2x)}{(x^2+y^2)^2} \\ &=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} \end{aligned}$ $\begin{aligned} u_{xx}&=\frac{(-2x)(x^2+y^2)^2-(y^2-x^2)2(x^2+y^2)2x}{(x^2+y^2)^4} \\ &=\frac{(-2x)(x^4+2x^2y^2+y^4)-4x(y^4-x^4)}{(x^2+y^2)^4} \\ &=\frac{2x^5-4x^3y^2-6xy^4}{(x^2+y^2)^4} \end{aligned}$ $\begin{aligned} u_y&=\frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2} \end{aligned}$ $\begin{aligned} u_{yy}&=\frac{(-2x)(x^2+y^2)^2-(-2xy)2(x^2+y^2)2y}{(x^2+y^2)^4} \\ &=\frac{(-2x)(x^4+2x^2y^2+y^4)+8xy^2(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^4} \\ &=\frac{-2x^5+4x^3y^2+6xy^4}{(x^2+y^2)^4} \end{aligned}$ Perhatikan bahwa $u_{xx}+u_{yy}=\displaystyle ...
Read more