Soal dan Pembahasan - Ujian Tengah Semester Kalkulus Lanjut - Prodi Pendidikan Matematika FKIP ULM (Bagian 2)

Quote

ini nanti isinya quote.

Soal Nomor 1
Buktikan bahwa $\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=0$ jika $f(x,y)=\ln \left(4x^2+4y^2\right)$

Dengan menggunakan Aturan Rantai didapatkan

$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}\left(\ln \left(4x^2+4y^2\right)\right)&=\frac{\partial \left(\ln \left(4x^2+4y^2\right)\right)}{\partial (4x^2+4y^2)}\cdot \frac{\partial (4x^2+4y^2)}{\partial x} \\ &=\frac1{4x^2+4y^2}\cdot 8x \\ &=\frac{2x}{x^2+y^2} \end{aligned}$

Untuk turunan kedua, misalkan $u=2x$ dan $v=x^2+y^2$

$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{u}{v}\right)&=\frac{v\frac{\partial u}{\partial x}-u\frac{\partial v}{\partial x}}{v^2} && \\ &=\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(\frac{\partial}{\partial x} (2x)\right)-2x\left(\frac{\partial}{\partial x}\left(x^2+y^2\right)\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2} \\ &=\frac{2x^2+2y^2-2x\left(2x\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2} \\ &=\frac{-2x^2+2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2} \\ \frac{\partial^2f}{\partial x^2}&=\frac{-2x^2+2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial y}\left(\ln \left(4x^2+4y^2\right)\right)&=\frac{\partial \left(\ln \left(4x^2+4y^2\right)\right)}{\partial (4x^2+4y^2)}\cdot \frac{\partial (4x^2+4y^2)}{\partial y} \\ &=\frac1{4x^2+4y^2}\cdot 8y \\ &=\frac{2y}{x^2+y^2} \end{aligned}$

Untuk turunan kedua, misalkan $u=2y$ dan $v=x^2+y^2$

$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{u}{v}\right)&=\frac{v\frac{\partial u}{\partial y}-u\frac{\partial v}{\partial y}}{v^2} \\ &=\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(\frac{\partial}{\partial y} (2y)\right)-2y\left(\frac{\partial}{\partial y}\left(x^2+y^2\right)\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2} \\ &=\frac{2x^2+2y^2-2y\left(2y\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2} \\ &=\frac{2x^2-2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2} \\ \frac{\partial^2f}{\partial y^2}&=\frac{2x^2-2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2} \end{aligned}$

$$\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=\frac{-2x^2+2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}+\frac{2x^2-2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}=0$$


Terbukti $\blacksquare$

Soal Nomor 2
Tunjukkan bahwa vektor satuan pada arah di mana $f(x,y,z)=x^2yz$ meningkat paling cepat di $\textbf{p}=(1,-1,2)$ adalah $\displaystyle \bigg\langle \frac{-4}{\sqrt{21}},\frac{2}{\sqrt{21}},\frac{-1}{\sqrt{21}} \bigg\rangle$

$f(x,y,z)=x^2yz$ didapatkan $f_x(x,y,z)=2xyz$, $f_y(x,y,z)=x^2z$ dan $f_z(x,y,z)=x^2y$. Sehingga

$\begin{aligned} \nabla f(x,y,z)&=\big\langle 2xyz,x^2z,x^2y\big\rangle \\ \nabla f(1,-1,2)&=\langle -4,2,-1\rangle \end{aligned}$

Untuk mencari vektor satuan terlebih dahulu mencari panjang vektornya

$\begin{aligned} \left\|\nabla f\right\|&=\sqrt{\left(-4\right)^2+2^2+\left(-1\right)^2} \\ &=\sqrt{16+4+1} \\ &=\sqrt{21} \end{aligned}$

Sehingga vektor unitnya adalah $\displaystyle \bigg\langle \frac{-4}{\sqrt{21}},\frac{2}{\sqrt{21}},\frac{-1}{\sqrt{21}} \bigg\rangle$
Terbukti $\blacksquare$

Soal Nomor 3
Buktikan bahwa $x+3y+\sqrt{7}z=-1$ adalah persamaan bidang singgung permukaan $x^2-y^2+z^2+1=0$ pada titik $\left(1,3,\sqrt{7}\right)$

Dari soal didapatkan $f_x(x,y,z)=2x$, $f_y(x,y,z)=-2y$ dan $f_z(x,y,z)=2z$. Sehingga $\nabla f(1,3,\sqrt{7})=\big\langle 2,-6,2\sqrt{7}\big\rangle$. Berdasarkan Teorema A persamaan bidang singgung di titik $(1,3,\sqrt{7})$ adalah

$\begin{aligned} 2(x-1)-6(y-3)+2\sqrt{7}(z-\sqrt{7})&=0 && \\ 2x-2-6y+18+2\sqrt{7}z-14&=0 && \\ 2x-6y+2\sqrt{7}z&=-2 && \\ x-3y+\sqrt{7}z&=-1 \end{aligned}$

Terbukti. $\blacksquare$

Soal Nomor 4
Buktikan bahwa nilai maksimum dari $f(x,y)=xy$ dengan kendala $4x^2+9y^2-36=0$ adalah $3$.

Pertama kita tulis kendalanya sebagai $g(x,y)=4x^2+9y^2-36=0$. Sehingga didapatkan $$\nabla f(x,y)=\langle y,x\rangle $$ dan $$\nabla g(x,y)=\langle 8x,18y\rangle $$ Persamaan Lagrangenya adalah

$\begin{align} y&=\lambda 8x \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \\ x&=\lambda 18y \ \ \ \ \ \ \ (2) \\ 4x^2+9y^2&=36 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{align}$

Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1) dan didapatkan

$\begin{aligned} y&=\lambda 8(\lambda18y) \nonumber\\ y&=144\lambda^2y \nonumber\\ \lambda&=\pm \frac{1}{12} \end{aligned}$

Ambil nilai $\lambda$ yang positif yaitu $\lambda=\frac{1}{12}$ (why?). Kemudian substisusi ke persamaan $(1)$ didapatkan

$\begin{aligned} y&=\frac{2}{3}x \end{aligned}$

Substisusi ke persamaan (3) didapatkan

\begin{aligned} 4x^2+9y^2&=36 \\ 4x^2+9(\frac{2}{3}x)^2&=36 \\ 4x^2+4x^2&=36\\ x^2&=\frac{9}{2} \\ x&=\pm \frac{3}{\sqrt{2}} \end{aligned}

Untuk $x=\frac{3}{\sqrt{2}}$ maka nilai $y=\sqrt{2}$ dan untuk $x=-\frac{3}{\sqrt{2}}$ maka nilai $y=-\sqrt{2}$. Substisusi ke $f(x,y)=xy$ dan didapatkan hasil $3$.
Terbukti. $\blacksquare$

Soal Nomor 5
Buktikan bahwa volume tetrahedron yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang $3x+4y+z-12=0$ adalah $24$

Volume dari tetrahedron tersebut adalah

$\begin{aligned} V&=\int_{0}^{4}\int_{0}^{-\frac{3x}{4}+3}(12-3x-4y)\ dydx\\ &=\int_{0}^{4} \frac{9}{8}(x-4)^2 dx \\ &=24 \end{aligned}$


Terbukti. $\blacksquare$

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Soal dan Pembahasan - Ujian Akhir Semester Kalkulus Lanjut - Prodi Pendidikan Matematika FKIP ULM

Image
Quote ini nanti isinya quote. Soal Nomor 1 Sketsa baji yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang $x=5$ dan $y+2z-4=0$. Tunjukkan bahwa volume tetrahedron tersebut $20$ satuan. Pembahasan Sketsa dari tetrahedron tersebut adalah sebagai berikut. Pertama ubah persamaan $y+2z-4=0$ menjadi $z=\frac{4-y}{2}$, sehingga volume tetrahedron tersebut adalah $\begin{aligned} V&=\int_0^5\int_0^4 \left(\frac{4-y}{2}\right)\ dydx \\ &=\int_0^5\int_0^4 \left(2-\frac1{2}y\right)\ dydx \\ &=\int_0^5 4\ dx \\ &=20 \end{aligned}$ Terbukti. $\blacksquare$ Soal Nomor 2 Hitung $\displaystyle\iint\limits_S e^{x^2+y^2}\ dA$ di kuadran pertama menggunakan koordinat kutub dan dibatasi oleh $x^2+y^2=4$ di antara $y=0$ dan $y=x$ Pembahasan Sketsa dari daerah tersebut adalah sebagai berikut. Karena dibatasi garis $y=0$ dan $y=x$, maka nilai $\theta$ adalah $\frac{\pi}{4}$ Dengan koordinat kutub, maka int...
Read more

Soal dan Pembahasan - Ujian Tengah Semester Kalkulus II Tahun 2020 - Prodi Pendidikan Matematika FKIP ULM

Quote ini nanti isinya quote. Soal Nomor 1 Hitung integral berikut a. $\displaystyle\int\left((x+1)\tan^2\left(3x^2+6x\right)\sec^2\left(3x^2+6x\right)\right)\ dx$ b. $\displaystyle\int_{-1}^1 \frac{\left(y^2+y+1\right)}{\sqrt[5]{2y^3+3y^2+6y}}\ dy$ Pembahasan a. Misalkan $u=3x^2+6x$ dan $du=6(x+1)\ dx$ $=\displaystyle\frac{1}{6}\int\tan^2(u)\sec^2(u)\ du$ Misalkan $s=\tan(u)$ dan $ds=\sec^2(u)\ du$ $\begin{aligned} &=\frac{1}{6}\int s^2\ ds \\ &=\frac{s^3}{18}+C \\ &=\frac{\tan^3(u)}{18}+C \\ &=\boxed{\frac{1}{18}\tan^3(3x^2+6x)+C}\\ \end{aligned}$ b. Misalkan $u=2y^3+3y^2+6y$ dan $du=6(y^2+y+1)\ dx$ $\begin{aligned} &=\frac{1}{6}\int \frac{1}{\sqrt[5]{u}}\ du \\ &=\frac{5u^{4/5}}{24}\Bigg|_{-1}^{1} \\ &=\boxed{\frac{-5}{24}\left((-5)^{4/5}-11^{4/5}\right)}\\ \end{aligned}$ Soal Nomor 2 Carilah $G'(x)$ untuk $\displaystyle G(x)=\int_0^x \left(\int_0...
Read more

Soal dan Pembahasan - Ujian Akhir Semester Fungsi Kompleks A 2020 - Prodi Pendidikan Matematika FKIP ULM

Quote ini nanti isinya quote. Soal Nomor 1 Buktikan $u(x,y)$ harmonik dalam domain definisinya, dan tentukan fungsi $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ jika $u(x,y)=\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}$. Pembahasan $u(x,y)=\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}$ $\begin{aligned} u_x&=\frac{(x^2+y^2)-x(2x)}{(x^2+y^2)^2} \\ &=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} \end{aligned}$ $\begin{aligned} u_{xx}&=\frac{(-2x)(x^2+y^2)^2-(y^2-x^2)2(x^2+y^2)2x}{(x^2+y^2)^4} \\ &=\frac{(-2x)(x^4+2x^2y^2+y^4)-4x(y^4-x^4)}{(x^2+y^2)^4} \\ &=\frac{2x^5-4x^3y^2-6xy^4}{(x^2+y^2)^4} \end{aligned}$ $\begin{aligned} u_y&=\frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2} \end{aligned}$ $\begin{aligned} u_{yy}&=\frac{(-2x)(x^2+y^2)^2-(-2xy)2(x^2+y^2)2y}{(x^2+y^2)^4} \\ &=\frac{(-2x)(x^4+2x^2y^2+y^4)+8xy^2(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^4} \\ &=\frac{-2x^5+4x^3y^2+6xy^4}{(x^2+y^2)^4} \end{aligned}$ Perhatikan bahwa $u_{xx}+u_{yy}=\displaystyle ...
Read more