Soal dan Pembahasan - Ujian Tengah Semester Kalkulus II Tahun 2020 - Prodi Pendidikan Matematika FKIP ULM

Quote

ini nanti isinya quote.

Soal Nomor 1
Hitung integral berikut
a. $\displaystyle\int\left((x+1)\tan^2\left(3x^2+6x\right)\sec^2\left(3x^2+6x\right)\right)\ dx$
b. $\displaystyle\int_{-1}^1 \frac{\left(y^2+y+1\right)}{\sqrt[5]{2y^3+3y^2+6y}}\ dy$

a. Misalkan $u=3x^2+6x$ dan $du=6(x+1)\ dx$
$=\displaystyle\frac{1}{6}\int\tan^2(u)\sec^2(u)\ du$
Misalkan $s=\tan(u)$ dan $ds=\sec^2(u)\ du$
$\begin{aligned} &=\frac{1}{6}\int s^2\ ds \\ &=\frac{s^3}{18}+C \\ &=\frac{\tan^3(u)}{18}+C \\ &=\boxed{\frac{1}{18}\tan^3(3x^2+6x)+C}\\ \end{aligned}$
b. Misalkan $u=2y^3+3y^2+6y$ dan $du=6(y^2+y+1)\ dx$

$\begin{aligned} &=\frac{1}{6}\int \frac{1}{\sqrt[5]{u}}\ du \\ &=\frac{5u^{4/5}}{24}\Bigg|_{-1}^{1} \\ &=\boxed{\frac{-5}{24}\left((-5)^{4/5}-11^{4/5}\right)}\\ \end{aligned}$


Soal Nomor 2
Carilah $G'(x)$ untuk $\displaystyle G(x)=\int_0^x \left(\int_0^u f(t) dt\right)du$

Misal $g(u)=\displaystyle\int_0^u f(t) dt$

$\begin{aligned} G(x)&=\displaystyle\int_0^x g(u) du \\ G'(x)&=g(x)\\ G'(x)&=\int_0^x f(t) dt \end{aligned}$


Soal Nomor 3
Tentukan luas daerah yang dibatasi kurva $y=x-x^2$ dan sumbu $x$!

$\begin{aligned} L&=\int_0^{1} (x-x^2) dx \\ &=\left[\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3\right]_0^1 \\ &=\frac{1}{6} \end{aligned}$

Soal Nomor 4
Tentukan panjang busur kurva $y=\frac{x^3}{3}+\frac{1}{4x}$ dari $x=1$ dan $x=3$

$\frac{dy}{dx}=x^2-\frac{1}{4x^2}$
Panjang busur kurva tersebut adalah
$\begin{aligned} \ &=\int_1^3 \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\ dx \\ \ &=\int_1^3 \sqrt{1+\left(x^2-\frac{1}{4x^2}\right)^2}\ dx \\ \ &=\int_1^3 \sqrt{x^4+\frac{1}{2}+\frac{1}{16x^4}}\ dx \\ \ &=\int_1^3 \left(x^2+\frac{1}{4x^2}\right)\ dx \\ \ &=\left[\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4x}\right]_1^3 \\ \ &=\frac{53}{6} \end{aligned}$
Jadi, panjang busur kurva tersebut adalah $\boxed{\frac{53}{6}}$

Soal Nomor 5
Sebuah benda dengan alas setengah lingkaran yang dibatasi oleh $y=\sqrt{9-x^2}$ dan $y=0$ mempunyai penampang-penampang tegak lurus pada sumbu-$X$ yang berbentuk bujur sangkar. Tentukan volume benda tersebut!

Pertama kita perlu mencari batas $x$ dengan melihat persamaan grafik $y=\sqrt{9-x^2}$, agar grafik tersebut terdifinisi pada bilangan riil maka nilai $x$ adalah dari $-3$ sampai $3$. Sehingga volumenya adalah
$\begin{aligned} V&=\int_{-3}^3 \left(\sqrt{9-x^2}\right)^2 dx \\ &=\int_{-1}^3 9-x^2\ dx \\ &=\left[9x-\frac{1}{3}x^3\right]_{-1}^3 \\ &=36 \end{aligned}$
Jadi, volume benda tersebut adalah $36$.

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Soal dan Pembahasan - Ujian Akhir Semester Kalkulus Lanjut - Prodi Pendidikan Matematika FKIP ULM

Image
Quote ini nanti isinya quote. Soal Nomor 1 Sketsa baji yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang $x=5$ dan $y+2z-4=0$. Tunjukkan bahwa volume tetrahedron tersebut $20$ satuan. Pembahasan Sketsa dari tetrahedron tersebut adalah sebagai berikut. Pertama ubah persamaan $y+2z-4=0$ menjadi $z=\frac{4-y}{2}$, sehingga volume tetrahedron tersebut adalah $\begin{aligned} V&=\int_0^5\int_0^4 \left(\frac{4-y}{2}\right)\ dydx \\ &=\int_0^5\int_0^4 \left(2-\frac1{2}y\right)\ dydx \\ &=\int_0^5 4\ dx \\ &=20 \end{aligned}$ Terbukti. $\blacksquare$ Soal Nomor 2 Hitung $\displaystyle\iint\limits_S e^{x^2+y^2}\ dA$ di kuadran pertama menggunakan koordinat kutub dan dibatasi oleh $x^2+y^2=4$ di antara $y=0$ dan $y=x$ Pembahasan Sketsa dari daerah tersebut adalah sebagai berikut. Karena dibatasi garis $y=0$ dan $y=x$, maka nilai $\theta$ adalah $\frac{\pi}{4}$ Dengan koordinat kutub, maka int...
Read more

Soal dan Pembahasan - Ujian Akhir Semester Fungsi Kompleks A 2020 - Prodi Pendidikan Matematika FKIP ULM

Quote ini nanti isinya quote. Soal Nomor 1 Buktikan $u(x,y)$ harmonik dalam domain definisinya, dan tentukan fungsi $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ jika $u(x,y)=\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}$. Pembahasan $u(x,y)=\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}$ $\begin{aligned} u_x&=\frac{(x^2+y^2)-x(2x)}{(x^2+y^2)^2} \\ &=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} \end{aligned}$ $\begin{aligned} u_{xx}&=\frac{(-2x)(x^2+y^2)^2-(y^2-x^2)2(x^2+y^2)2x}{(x^2+y^2)^4} \\ &=\frac{(-2x)(x^4+2x^2y^2+y^4)-4x(y^4-x^4)}{(x^2+y^2)^4} \\ &=\frac{2x^5-4x^3y^2-6xy^4}{(x^2+y^2)^4} \end{aligned}$ $\begin{aligned} u_y&=\frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2} \end{aligned}$ $\begin{aligned} u_{yy}&=\frac{(-2x)(x^2+y^2)^2-(-2xy)2(x^2+y^2)2y}{(x^2+y^2)^4} \\ &=\frac{(-2x)(x^4+2x^2y^2+y^4)+8xy^2(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^4} \\ &=\frac{-2x^5+4x^3y^2+6xy^4}{(x^2+y^2)^4} \end{aligned}$ Perhatikan bahwa $u_{xx}+u_{yy}=\displaystyle ...
Read more