Soal dan Pembahasan - Ujian Tengah Semester Kalkulus Lanjut - Prodi Pendidikan Matematika FKIP ULM (Bagian 3)

Quote

ini nanti isinya quote.

Soal Nomor 1
Buktikan bahwa $\frac{\partial^2f}{\partial y \partial x}-\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}=0$ jika $f(x,y)=3e^{2x}\cos y$

Dengan menggunakan Aturan Rantai didapatkan

$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial y}\left(3e^{2x}\cos y\right)&=-3e^{2x}\sin y \\ \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}\left(3e^{2x}\cos y\right)&=-6e^{2x}\sin y \\ \frac{\partial f}{\partial x}\left(3e^{2x}\cos y\right)&=6e^{2x}\cos y \\ \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\left(3e^{2x}\cos y\right)&=-6e^{2x}\sin y \end{aligned}$

$$\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}-\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=-6e^{2x}\sin y-(-6e^{2x}\sin y)=0$$

Terbukti. $\blacksquare$

Soal Nomor 2
Buktikan bahwa $2x+y-z=4$ adalah persamaan bidang singgung permukaan $x^2+y^2-z^2=4$ pada titik $\left(2,1,1\right)$

Dari soal didapatkan $f_x(x,y,z)=2$, $f_y(x,y,z)=1$ dan $f_z(x,y,z)=-1$. Sehingga $\nabla f(2,1,1)=\langle 2,1,-1\rangle$. Berdasarkan Teorema A persamaan bidang singgung di titik $(2,1,1)$ adalah

$\begin{align*} 2(x-2)+(y-1)-(z-1)&=0 \\ 2x-4+y-1-z+1&=0 \\ 2x+y-z&=4 \end{align*}$

Terbukti $\blacksquare$

Soal Nomor 3
Tunjukkan bahwa vektor satuan pada arah di mana $f(x,y)=x^3-y^5$ meningkat paling cepat di $\textbf{p}=(2,-1)$ adalah $\displaystyle \bigg\langle \frac{12}{13},\frac{-5}{13}\bigg\rangle$. Berapakah laju perubahan pada arah tersebut?

$f(x,y)=x^3-y^5$ didapatkan $f_x(x,y)=3x^2$ dan $f_y(x,y)=-5y^4$. Sehingga

$\begin{aligned} \nabla f(x,y)&=\big\langle 3x^2,-5y^4\big\rangle \\ \nabla f(2,-1)&=\langle 12,-5\rangle \end{aligned}$

Untuk mencari vektor satuan terlebih dahulu mencari panjang vektornya

$\begin{aligned} \left\|\nabla f\right\|&=\sqrt{\left(12\right)^2+\left(-5\right)^2} \\ &=\sqrt{144+25}\\ &=\sqrt{13} \end{aligned}$

Sehingga vektor satuannya adalah $\displaystyle \bigg\langle \frac{12}{13},\frac{-5}{13}\bigg\rangle$ dengan laju perubahannya adalah $13$. Terbukti. $\blacksquare$

Soal Nomor 4
Buktikan bahwa nilai maksimum dari $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ dengan kendalan $x+3y-2z=12$ adalah $\frac{72}{7}$

Pertama kita tulis kendalanya sebagai $g(x,y,z)=x+3y-2z-12=0$. Sehingga didapatkan $$\nabla f(x,y,z)=\langle 2x,2y,2z\rangle $$ dan $$\nabla g(x,y)=\langle 1,3,-2\rangle $$ Persamaan Lagrangenya adalah

$\begin{aligned} 2x&=\lambda \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \\ 2y&=3\lambda \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \\ 2z&=-2\lambda \ \ \ \ \ (3) \\ x+3y-2z&=12 \end{aligned}$

Substitusi persamaan (1), (2) dan (3) ke persamaan (4) dan didapatkan

$\begin{aligned} x+3y-2z&=12 \\ \frac{1}{2}\lambda+3\cdot\frac{3}{2}\lambda+2\lambda&=12\\ \lambda&=\frac{12}{7} \end{aligned}$

Substitusi nilai $\lambda$ ke persamaan (1), (2) dan (3) dan dihasilkan nilai $x=\frac{6}{7}$, $y=\frac{18}{7}$ dan $z=-\frac{12}{7}$ Substisusi ke $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ dan didapatkan hasil $\frac{72}{7}$.
Terbukti. $\blacksquare$

Soal Nomor 5
Buktikan bahwa volume tetrahedron yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang $z=6-2x-3y$ adalah $6$

Volume dari tetrahedron tersebut adalah

$\begin{aligned} V&=\int_{0}^{3}\int_{0}^{-\frac{2x}{3}+2}(6-2x-3y)\ dydx\\ &=\int_{0}^{3} \frac{2}{3}(x-3)^2 dx \\ &=6 \end{aligned}$

Terbukti. $\blacksquare$