Soal dan Pembahasan - Ujian Akhir Semester Matriks - Prodi Pendidikan Matematika FKIP ULM - Bagian 1

Quote by Pam Leo

You cannot teach children to behave better by making them feel worse. When children feel better, they behave better.

Soal Nomor 1
Salah satu syarat suatu matriks mempunyai invers adalah determinannya $\neq 0$. Dengan mengunakan transformasi elementer, selidiki apakah

$A= \begin{bmatrix} 1 & -1 & 3 & 2 \\ -2 & 1 & 5 & 1 \\ -3 & 2 & 2 & -1 \\ 4 & -3 & 1 & 3 \end{bmatrix}\ \text{dan}\ B= \begin{bmatrix} 0 & -1 & -2 & -3 \\ 1 & 1 & 4 & 4 \\ 1 & 3 & 7 & 9 \\ -1 & -2 & -4 & -6 \end{bmatrix} $

mempunyai invers. Jika ya, tentukan inversnya.

Untuk menghitung determinan dari matriks tersebut, digunakan metode Operasi Baris Elementer untuk membentuk matriks segitiga, sehingga determinannya adalah perkalian dari diagonal utama dari matriks tersebut.
$\textbf{$\S$ Determinan matriks A}$

$$\begin{array}{c} \begin{vmatrix} 1 & -1 & 3 & 2 \\ -2 & 1 & 5 & 1 \\ -3 & 2 & 2 & -1 \\ 4 & -3 & 1 & 3 \end{vmatrix} \begin{array}{c} \scriptstyle{H_{2,1}(2)} \\ \scriptstyle{H_{3,1}(3)} \\ \text{$\huge\sim$} \\ \scriptstyle{H_{4,1}(-4)} \\ \end{array} \begin{vmatrix} 1 & -1 & 3 & 2 \\ 0 & -1 & 11 & 5 \\ 0 & -1 & 11 & 5 \\ 0 & 1 & -11 & -5 \end{vmatrix} \\ \\ \begin{array}{c} \scriptstyle{H_{2}(-1)} \\ \text{$\huge\sim$} \end{array} \begin{vmatrix} 1 & -1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -11 & -5 \\ 0 & -1 & 11 & 5 \\ 0 & 1 & -11 & -5 \end{vmatrix} \begin{array}{c} \scriptstyle{H_{3,2}(1)} \\ \text{$\huge\sim$} \\ \scriptstyle{H_{4,2}(-1)} \end{array} \begin{vmatrix} 1 & -1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -11 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} \\ \\ \begin{array}{c} \scriptstyle{H_{1,2}(1)} \\ \text{$\huge\sim$} \end{array} \begin{vmatrix} 1 & 0 & -8 & -3 \\ 0 & 1 & -11 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} \end{array}$$

Didapatkan bentuk matriks segitiga atas, dan hasil perkalian diagonal utama dari matriks tersebut adalah 0, maka determinan dari matriks A adalah 0. Bisa disimpulkan bahwa matriks A tidak mempunyai invers.
$\textbf{$\S$ Determinan matriks B}$

$$ \begin{array}{c} \begin{vmatrix} 0 & -1 & -2 & -3 \\ 1 & 1 & 4 & 4 \\ 1 & 3 & 7 & 9 \\ -1 & -2 & -4 & -6 \end{vmatrix} \begin{array}{c} \scriptstyle{H_{1,2}(1)} \\ \text{$\huge\sim$} \end{array} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 4 & 4 \\ 1 & 3 & 7 & 9 \\ -1 & -2 & -4 & -6 \end{vmatrix} \\ \\ \begin{array}{c} \scriptstyle{H_{2,1}(-1)} \\ \scriptstyle{H_{3,1}(-1)} \\ \text{$\huge\sim$} \\ \scriptstyle{H_{4,1}(1)} \end{array} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 5 & 8 \\ 0 & -2 & -2 & -5 \end{vmatrix} \begin{array}{c} \scriptstyle{H_{3,2}(-3)} \\ \text{$\huge\sim$} \\ \scriptstyle{H_{4,2}(2)} \end{array} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} \\ \\ \begin{array}{c} \scriptstyle{H_{3}(-1)} \\ \text{$\huge\sim$} \end{array} -\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} \begin{array}{c} \scriptstyle{H_{4,3}(-2)} \\ \text{$\huge\sim$} \end{array} -\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{vmatrix}\\ \\ \begin{array}{c} \scriptstyle{H_{4}(-1)} \\ \text{$\huge\sim$} \end{array} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \end{array}$$

Didapatkan bentuk matriks segitiga atas, dan hasil perkalian diagonal utama dari matriks tersebut adalah 1, maka determinan dari matriks B adalah 1. Bisa disimpulkan bahwa matriks B mempunyai invers.
$\textbf{$\S$ Invers matriks B}$
Untuk mencari invers matriks B, digunakan metode Operasi Baris Elementer. Pertama tulis matriks $\begin{bmatrix} B & I_4 \end{bmatrix}$ dan lakukan operasi baris elementer untuk mengubah $B$ menjadi $I_4$

$$\begin{bmatrix} 0 & -1 & -2 & -3 & |& 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 4 & 4 & | & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 3 & 7 & 9 & | & 0 & 0 & 1 & 0\\ -1 & -2 & -4 & -6 & | & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$\begin{array}{c} \scriptstyle{H_{1,2}(1)} \\ \text{$\huge\sim$} \end{array} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 & | & 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 4 & 4 & | & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 3 & 7 & 9 & | & 0 & 0 & 1 & 0\\ -1 & -2 & -4 & -6 & | & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$\begin{array}{c} \scriptstyle{H_{2,1}(-1)} \\ \scriptstyle{H_{3,1}(-1)} \\ \text{$\huge\sim$} \\ \scriptstyle{H_{4,1}(1)} \end{array} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 & | & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & | & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 5 & 8 & | & -1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -2 & -5 & | & 1 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$\begin{array}{c} \scriptstyle{H_{3,2}(-3)} \\ \text{$\huge \sim$} \\ \scriptstyle{H_{4,2}(2)} \end{array} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 & | & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & | & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & | & 2 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & | & -1 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$\begin{array}{c} \scriptstyle{H_{3}(-1)} \\ \text{$\huge\sim$} \end{array} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 & | & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 3 & | & -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & | & -2 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 1 & | & -1 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$\begin{array}{c} \scriptstyle{H_{4,3}(-2)} \\ \text{$\huge\sim$} \end{array} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 & | & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 3 & | & -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & | & -2 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & | & 3 & -1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$$

$$\begin{array}{c} \scriptstyle{H_{4}(-1)} \\ \text{$\huge\sim$} \end{array} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 & | & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 3 & | & -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & | & -2 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & -3 & 1 & -2 & -1 \end{bmatrix}$$

$$\begin{array}{c} \scriptstyle{H_{2,3}(-2)} \\ \text{$\huge\sim$} \\ \scriptstyle{H_{1,3}(-2)} \end{array} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 & | & 5 & -1 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 & | & 3 & -2 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & | & -2 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & -3 & 1 & -2 & -1 \end{bmatrix}$$

$$\begin{array}{c} \scriptstyle{H_{1,4}(1)} \\ \scriptstyle{H_{2,4}(-1)} \\ \text{$\huge\sim$} \\ \scriptstyle{H_{3,4}(-1)} \end{array} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & 2 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & | & 6 & -3 & 4 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & -3 & 1 & -2 & -1 \end{bmatrix}$$

Didapat invers dari matriks $B$ adalah $$\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & -1\\ 6 & -3 & 4 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 1\\ -3 & 1 & -2 & -1 \end{bmatrix}$$

Soal Nomor 2
Reduksi kedua matriks pada soal nomor 1 ke bentuk normal.

$\S$ Untuk matriks A
Melanjutkan dari operasi pada soal nomor 1, hanya saja dengan menggunakan operasi kolom.

$$\begin{array}{c} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -8 & -3 \\ 0 & 1 & -11 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{array}{c} \scriptstyle{K_{3,1}(8)} \\ \scriptstyle{K_{4,1}(3)} \\ \text{$\huge\sim$} \\ \scriptstyle{K_{3,2}(11)} \\ \scriptstyle{K_{4,2}(5)} \\ \end{array} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{array}$$

Bentuk normal dari matriks A adalah $$\begin{bmatrix} I_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$ $\S$ Untuk matriks B
Berdasarkan ekspansi pada soal nomor 1 di atas, matriks B bisa dibuat menjadi $I_4$, maka bentuk normal dari matriks $B$ adalah $$\begin{bmatrix} I_2 & 0 \\ 0 & I_2 \end{bmatrix}$$

Soal Nomor 3
Hitung adjoint dari $$C= \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

adj $C$ adalah

$$\begin{bmatrix}\ \ \ \begin{vmatrix} 5&4 \\ 0&1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1&3 \\ 0&1 \end{vmatrix} & \ \ \ \begin{vmatrix} 1&3 \\ 5&4 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 0&4 \\ 0&1 \end{vmatrix} & \ \ \ \begin{vmatrix} 2&3 \\ 0&1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 2&3 \\ 0&4 \end{vmatrix} \\ \ \ \ \begin{vmatrix} 0&0 \\ 5&0 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 2&1 \\ 0&0 \end{vmatrix} & \ \ \ \begin{vmatrix} 2&1 \\ 0&5 \end{vmatrix} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5 & -1 & -11 \\ 0 & 2 & -8 \\ 0 & 0 & 10 \end{bmatrix}$$

Soal Nomor 4
Selidiki apakah $$D= \begin{bmatrix} 2 & 5 & 7 & 8 \\ 4 & -3 & 1 & 1 \\ 3 & -7 & 2 & 1 \end{bmatrix} $$ mempunyai invers kanan. Jika ya, cari invers kanannya.

Definisi. Diberikan matriks $D$ berukuran $m\times n$. Jika $R$ adalah matriks berukuran $n\times m$ yang memenuhi sifat $DR=I_m$ , maka $R$ disebut invers kanan dari $D$. Sebelum mencari invers kanan dari matriks $D$, kita perlu mengidentifikasi rank dari matriks $D$, jika rank dari matriks $D$ adalah $m$, maka matriks $D$ mempunyai invers kanan (why?). Untuk mempersingkat pembahasan didapatkan rank matriks $D$ adalah 3 (pembuktian diserahkan kepada pembaca), sehingga matriks $D$ mempunyai invers kanan. Berdasarkan definisi di atas, maka diperoleh

$$\begin{bmatrix} 2 & 5 & 7 & 8 \\ 4 & -3 & 1 & 1 \\ 3 & -7 & 2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1&y_1&z_1 \\ x_2&y_2&z_2 \\ x_3&y_3&z_3 \\ x_4&y_4&z_4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$\S$ Cara Pertama
Misalkan $x_1=y_1=z_1=0$ sehingga didapatkan

$$\begin{bmatrix} 2 & 5 & 7 & 8 \\ 4 & -3 & 1 & 1 \\ 3 & -7 & 2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ x_2&y_2&z_2 \\ x_3&y_3&z_3 \\ x_4&y_4&z_4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Hilangkan baris pertama dan hanya tersisa matriks persegi

$$\begin{align*} \begin{bmatrix} x_2&y_2&z_2 \\ x_3&y_3&z_3 \\ x_4&y_4&z_4 \end{bmatrix}&=\begin{bmatrix} 5 & 7 & 8 \\ -3 & 1 & 1 \\ -7 & 2 & 1 \end{bmatrix}^{-1} \\ &=\begin{bmatrix} \frac{1}{25} & -\frac{9}{25} & \frac{1}{25} \\ \frac{4}{25} & -\frac{61}{25} & \frac{29}{25} \\ -\frac{1}{25} & -\frac{59}{25} & -\frac{26}{25} \end{bmatrix} \\ R&=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{25} & -\frac{9}{25} & \frac{1}{25} \\ \frac{4}{25} & -\frac{61}{25} & \frac{29}{25} \\ -\frac{1}{25} & -\frac{59}{25} & -\frac{26}{25} \end{bmatrix} \end{align*}$$

Untuk memverifikasi nilai $R$ tersebut memenuhi $DR=I_3$, silakan hitung secara manual perkalian di bawah ini.

$$\begin{bmatrix} 2 & 5 & 7 & 8 \\ 4 & -3 & 1 & 1 \\ 3 & -7 & 2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{25} & -\frac{9}{25} & \frac{1}{25} \\ \frac{4}{25} & -\frac{61}{25} & \frac{29}{25} \\ -\frac{1}{25} & -\frac{59}{25} & -\frac{26}{25} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$\S$ Cara Kedua
Bisa kita perhatikan bahwa matriks $DD^{T}$ adalah invertible (why?). Sekarang perhatikan bahwa $DD^{T}{(DD^{T})}^{-1}=I$, maka matriks $R=D^{T}\left(DD^T\right)^{-1}$ adalah invers kanan dari $D$.

$$D=\begin{bmatrix} 2 & 5 & 7 & 8 \\ 4 & -3 & 1 & 1 \\ 3 & -7 & 2 & 1 \end{bmatrix} \text{dan} \ D^T=\begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 \\ 5 & -3 & -7 \\ 7 & 1 & 2 \\ 8 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$

$$\begin{aligned} DD^T&=\begin{bmatrix} 2 & 5 & 7 & 8 \\ 4 & -3 & 1 & 1 \\ 3 & -7 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 \\ 5 & -3 & -7 \\ 7 & 1 & 2 \\ 8 & 1 & 1 \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} 142 & 8 & -7 \\ 8 & 27 & 36 \\ -7 & 36 & 63 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \left(DD^T\right)^{-1}&=\frac{1}{48123}\begin{bmatrix} 405 & -756 & 477 \\ -756 & 8897 & -5168 \\ 477 & -5168 & 3770 \end{bmatrix} \\ R&=\begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 \\ 5 & -3 & -7 \\ 7 & 1 & 2 \\ 8 & 1 & 1 \end{bmatrix}\frac{1}{48123}\begin{bmatrix} 405 & -756 & 477 \\ -756 & 8897 & -5168 \\ 477 & -5168 & 3770 \end{bmatrix} \\ &=\frac{1}{48123}\begin{bmatrix} -783 & 18572 & -8408 \\ 954 & 5705 & -8501 \\ 3033 & -6731 & 5711 \\ 2961 & -2319 & 2418 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

Untuk memverifikasi nilai $R$ tersebut memenuhi $DR=I_3$, silakan hitung secara manual perkalian di bawah ini.

$$\begin{bmatrix} 2 & 5 & 7 & 8 \\ 4 & -3 & 1 & 1 \\ 3 & -7 & 2 & 1 \end{bmatrix}\frac{1}{48123}\begin{bmatrix} -783 & 18572 & -8408 \\ 954 & 5705 & -8501 \\ 3033 & -6731 & 5711 \\ 2961 & -2319 & 2418 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$\S$ Cara Ketiga
Berdasarkan definisi di awal kita bisa mencari invers kanan dari matriks tersebut dengan menyelesaikan sistem persamaan berikut.

$$ D \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\x_3\\x_4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix},\ D \begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\y_3\\y_4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix},\ D \begin{bmatrix} z_1\\ z_2\\z_3\\z_4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix} $$

Selanjutnya kita akan menggunakan Operasi Baris Elementer.

$$ \begin{bmatrix} 2 & 5 & 7 & 8 & | & 1 & 0 & 0\\ 4 & -3 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 0\\ 3 & -7 & 2 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Langkah selanjutnya sama dengan soal nomor 1 dan didapatkan matriks $R$ yang berbeda dari yang sudah ada.
Note. Invers kanan dari suatu matriks tidak tunggal, tetapi memiliki beberapa invers tergantung dari metode yang digunakan. Terkadang cara kedua lebih pendek dari cara pertama, namun bisa juga sebaliknya tergantung kondisi soal.

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Soal dan Pembahasan - Ujian Akhir Semester Kalkulus Lanjut - Prodi Pendidikan Matematika FKIP ULM

Image
Quote ini nanti isinya quote. Soal Nomor 1 Sketsa baji yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang $x=5$ dan $y+2z-4=0$. Tunjukkan bahwa volume tetrahedron tersebut $20$ satuan. Pembahasan Sketsa dari tetrahedron tersebut adalah sebagai berikut. Pertama ubah persamaan $y+2z-4=0$ menjadi $z=\frac{4-y}{2}$, sehingga volume tetrahedron tersebut adalah $\begin{aligned} V&=\int_0^5\int_0^4 \left(\frac{4-y}{2}\right)\ dydx \\ &=\int_0^5\int_0^4 \left(2-\frac1{2}y\right)\ dydx \\ &=\int_0^5 4\ dx \\ &=20 \end{aligned}$ Terbukti. $\blacksquare$ Soal Nomor 2 Hitung $\displaystyle\iint\limits_S e^{x^2+y^2}\ dA$ di kuadran pertama menggunakan koordinat kutub dan dibatasi oleh $x^2+y^2=4$ di antara $y=0$ dan $y=x$ Pembahasan Sketsa dari daerah tersebut adalah sebagai berikut. Karena dibatasi garis $y=0$ dan $y=x$, maka nilai $\theta$ adalah $\frac{\pi}{4}$ Dengan koordinat kutub, maka int...
Read more

Soal dan Pembahasan - Ujian Tengah Semester Kalkulus II Tahun 2020 - Prodi Pendidikan Matematika FKIP ULM

Quote ini nanti isinya quote. Soal Nomor 1 Hitung integral berikut a. $\displaystyle\int\left((x+1)\tan^2\left(3x^2+6x\right)\sec^2\left(3x^2+6x\right)\right)\ dx$ b. $\displaystyle\int_{-1}^1 \frac{\left(y^2+y+1\right)}{\sqrt[5]{2y^3+3y^2+6y}}\ dy$ Pembahasan a. Misalkan $u=3x^2+6x$ dan $du=6(x+1)\ dx$ $=\displaystyle\frac{1}{6}\int\tan^2(u)\sec^2(u)\ du$ Misalkan $s=\tan(u)$ dan $ds=\sec^2(u)\ du$ $\begin{aligned} &=\frac{1}{6}\int s^2\ ds \\ &=\frac{s^3}{18}+C \\ &=\frac{\tan^3(u)}{18}+C \\ &=\boxed{\frac{1}{18}\tan^3(3x^2+6x)+C}\\ \end{aligned}$ b. Misalkan $u=2y^3+3y^2+6y$ dan $du=6(y^2+y+1)\ dx$ $\begin{aligned} &=\frac{1}{6}\int \frac{1}{\sqrt[5]{u}}\ du \\ &=\frac{5u^{4/5}}{24}\Bigg|_{-1}^{1} \\ &=\boxed{\frac{-5}{24}\left((-5)^{4/5}-11^{4/5}\right)}\\ \end{aligned}$ Soal Nomor 2 Carilah $G'(x)$ untuk $\displaystyle G(x)=\int_0^x \left(\int_0...
Read more

Soal dan Pembahasan - Ujian Akhir Semester Fungsi Kompleks A 2020 - Prodi Pendidikan Matematika FKIP ULM

Quote ini nanti isinya quote. Soal Nomor 1 Buktikan $u(x,y)$ harmonik dalam domain definisinya, dan tentukan fungsi $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ jika $u(x,y)=\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}$. Pembahasan $u(x,y)=\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}$ $\begin{aligned} u_x&=\frac{(x^2+y^2)-x(2x)}{(x^2+y^2)^2} \\ &=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} \end{aligned}$ $\begin{aligned} u_{xx}&=\frac{(-2x)(x^2+y^2)^2-(y^2-x^2)2(x^2+y^2)2x}{(x^2+y^2)^4} \\ &=\frac{(-2x)(x^4+2x^2y^2+y^4)-4x(y^4-x^4)}{(x^2+y^2)^4} \\ &=\frac{2x^5-4x^3y^2-6xy^4}{(x^2+y^2)^4} \end{aligned}$ $\begin{aligned} u_y&=\frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2} \end{aligned}$ $\begin{aligned} u_{yy}&=\frac{(-2x)(x^2+y^2)^2-(-2xy)2(x^2+y^2)2y}{(x^2+y^2)^4} \\ &=\frac{(-2x)(x^4+2x^2y^2+y^4)+8xy^2(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^4} \\ &=\frac{-2x^5+4x^3y^2+6xy^4}{(x^2+y^2)^4} \end{aligned}$ Perhatikan bahwa $u_{xx}+u_{yy}=\displaystyle ...
Read more