Soal dan Pembahasan - Ujian Akhir Semester Kalkulus II Tahun 2020 - Prodi Pendidikan Matematika FKIP ULM

Quote

ini nanti isinya quote.
A. Perlihatkan bahwa:

Soal Nomor 1
Jika $y=x^2\ln x^2 +(\ln x)^2$ maka $\frac{dy}{dx}=2x\left(\ln ex^{2+\frac{1}{x^2}}\right)$

$\begin{aligned} y&=x^2\ln x^2 +(\ln x)^2 \\ &=x^2\cdot 2\ln x+(\ln x)^2 \\ \frac{dy}{dx}&=x^2\cdot\frac{2}{x}+2x\cdot 2\ln x+2\ln x\cdot\frac{1}{x} \\ &=2x+2x\ln x^2+\frac{2}{x}\ln x \\ &= 2x\left(1+\ln x^2+\frac{1}{x^2}\ln x\right)\\ &=2x\left(1+\ln x^2+\ln x^{\frac{1}{x^2}}\right)\\ &=2x\left(1+\ln x^{2+\frac{1}{x^2}}\right)\\ &=2x\left(\ln e+\ln x^{2+\frac{1}{x^2}}\right)\\ &=2x\left(\ln ex^{2+\frac{1}{x^2}}\right) \end{aligned}$

Terbukti. $\blacksquare$

Soal Nomor 2
Jika $y=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ maka $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

$\begin{aligned} y&=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right) \\ \frac{dy}{dx}&=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\frac{d}{dx}\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\\ &=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\left(1+\frac{1}{2}\left(x^2+1\right)^{-\frac{1}{2}}\frac{d}{dx}\cdot x^2\right) \\ &=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\left(1+\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x\right) \\ &=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right) \\ &=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot\frac{x-\sqrt{x^2+1}}{x-\sqrt{x^2+1}}\left(\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}\right) \\ &=\frac{x-\sqrt{x^2+1}}{x^2-x^2-1}\left(\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}\right)\\ &=\frac{x^2-x^2-1}{-\sqrt{x^2+1}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \end{aligned}$


Terbukti. $\blacksquare$

Soal Nomor 3
$\displaystyle\int_0^3 \frac{x^4}{2x^5+\pi}\ dx=\frac{1}{10}\ln\frac{486+\pi}{\pi}$

Misal $u=2x^5+\pi$ maka $du=10x^4\ dx$

$\begin{aligned} \int_0^3 \frac{x^4}{2x^5+\pi}\ dx&=\frac{1}{10}\int\frac{1}{u}\ du \\ &=\frac{1}{10}\ln |u| \\ &=\frac{1}{10}\left[\ln |2x^5+\pi|\right]_0^3 \\ &=\frac{1}{10}\left(\ln(486+\pi)-\ln\pi\right) \\ &=\frac{1}{10}\ln\frac{486+\pi}{\pi} \end{aligned}$

Terbukti. $\blacksquare$

Soal Nomor 4
$\displaystyle\int_0^3 \frac{x+1}{2x^2+4x+3}\ dx=\frac{1}{4}\ln 11$

Misal $u=2x^2+4x+3$, maka $du=4(x+1)\ dx$. Sehingga
$\begin{aligned} \int \frac{x+1}{2x^2+4x+3}\ dx&=\frac{1}{4}\int \frac{1}{u}\ du \\ &=\frac{1}{4}\left[\ln u\right]_0^3 \\ &=\frac{1}{4}\left[\ln 2x^2+4x+3\right]_0^3 \\ &=\frac{1}{4}\left[\ln 33-\ln 3\right] \\ &=\frac{1}{4}\ln 11 \end{aligned}$
Terbukti. $\blacksquare$

Soal Nomor 5
Jika $f(x)=\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^3$ maka $f^{-1}(x)=\frac{1+\sqrt[3]{x}}{1-\sqrt[3]{x}}$

Langkah 1
$\begin{aligned} y&=\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^3 \\ \sqrt[3]{y}&=\frac{x-1}{x+1} \\ x \sqrt[3]{y}+ \sqrt[3]{y}&=x-1 \\ x-x \sqrt[3]{y}&=1+ \sqrt[3]{y} \\ x&=\frac{1+ \sqrt[3]{y}}{1- \sqrt[3]{y}} \end{aligned}$
Langkah 2
$f^{-1}y=\frac{1+\sqrt[3]{y}}{1-\sqrt[3]{y}}$
Langkah 3
$f^{-1}x=\frac{1+\sqrt[3]{x}}{1-\sqrt[3]{x}}$
Pengujian :
$\begin{aligned} f^{-1}(f(x))&=\frac{1+\left[\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^3\right]^{1/3}}{1-\left[\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^3\right]^{1/3}}\\ &=\frac{1+\frac{x-1}{x+1}}{1-\frac{x-1}{x+1}}\\ &=\frac{x+1+x-1}{x+1-x+1}\\ &=\frac{2x}{2}\\ &=x\\ f\left(f^{-1}(x)\right)&=\left(\frac{\frac{1+\sqrt[3]{x}}{1-\sqrt[3]{x}}-1}{\frac{1+\sqrt[3]{x}}{1-\sqrt[3]{x}}+1}\right)^3\\ &=\left(\frac{1+\sqrt[3]{x}-1+\sqrt[3]{x}}{1+\sqrt[3]{x}+-\sqrt[3]{x}}\right)^3\\ &=\left(\frac{2\sqrt[3]{x}}{2}\right)^3 \\ &=\left(x^{1/3}\right)^3 \\ &=x \end{aligned}$
Terbukti. $\blacksquare$

Soal Nomor 6
$\displaystyle\int_0^3 xe^{x^2-3}\ dx=\frac{1}{2}\left(e^6-e^{-3}\right)$

Misalkan $u=x^2-3$ maka $du=2x$, sehingga
$\begin{aligned} \int xe^{x^2-3}\ dx&=\frac{1}{2}\int e^u\ du \\ &=\left[\frac{1}{2}e^u\right]_0^3 \\ &=\left[\frac{1}{2}e^{x^2-3}\right]_0^3 \\ &=\frac{1}{2}\left(e^6-e^{-3}\right) \end{aligned}$
Terbukti. $\blacksquare$


B. Selesaikan

Soal Nomor 1
$\displaystyle\int_0^1 \frac{e^{2x}-e^{-2x}}{e^{2x}+e^{-2x}}\ dx$

Misal $u=e^{2x}+e^{-2x}$ maka $du=2\left(e^{2x}-e^{-2x}\right)\ dx$, sehingga

$\begin{aligned} \int \frac{e^{2x}-e^{-2x}}{e^{2x}+e^{-2x}}\ dx&=\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}\ du \\ &=\frac{1}{2}\left[\ln |u|\right]_0^1 \\ &=\frac{1}{2}\left[\ln \left|e^{2x}+e^{-2x}\right|\right]_0^1 \\ &=\frac{1}{2}\left(\ln \left|e^{2}+e^{-2}\right|-\ln \left|1+1\right|\right) \\ &=\frac{1}{2}\left(\ln \left(e^{2}+e^{-2}\right)-\ln 2\right) \\ \end{aligned}$


Jadi, hasil integralnya adalah $\boxed{\frac{1}{2}\left(\ln \left(e^{2}+e^{-2}\right)-\ln 2\right)}$

Soal Nomor 2
$\displaystyle\int\sin^3x\cos^2x\ dx$

Ubah $\sin^2 x$ menjadi $1-\cos^2 x$
$\displaystyle\int\left(1-\cos^2 x\right)\sin x\cos^2x\ dx$
Misal $u=\cos x$ maka $du=-\sin x$, sehingga

$\begin{aligned} \int\left(1-\cos^2 x\right)\sin x\cos^2x\ dx&=-\int u^2\left(1-u^2\right)\ du \\ &=-\int u^2-u^4\ du\\ &=\frac{u^5}{5}-\frac{u^3}{3}+C\\ &=\frac{\cos^5 x}{5}-\frac{\cos^3 x}{3}+C\\ \end{aligned}$


Jadi, hasil integralnya adalah $\boxed{\frac{\cos^5 x}{5}-\frac{\cos^3 x}{3}+C}$

Soal Nomor 3
$\displaystyle\int x^2e^x\ dx$

Misal $u=x^2$ maka $du=2xdx$ dan $dv=e^x dx$ maka $v=e^x$

$\begin{aligned} \int x^2e^x\ dx&=x^2 e^x-\int 2xe^x\ dx\\ \end{aligned}$


Misal $u=x$ maka $du=dx$ dan $dv=e^x$ maka $v=e^x$

$\begin{aligned} \int x^2e^x\ dx&=x^2 e^x-2\left(xe^x-\int e^x\ dx\right) \\ &=x^2 e^x-2xe^x+2e^x+C \end{aligned}$


Jadi, hasilnya adalah $\boxed{x^2 e^x-2xe^x+2e^x+C}$

Soal Nomor 4
$\displaystyle\int \frac{2x^2+x-4}{x^3-x^2-2x}\ dx$

Pertama ubah bentuk pecahan tersebut dengan dekomposisi pecahan parsial

$\begin{aligned} \frac{2x^2+x-4}{x^3-x^2-2x}&=\frac{2x^2+x-4}{x(x+1)(x-2)} \\ &=\frac{2}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-2} \end{aligned}$


Sehingga bentuk integralnya menjadi

$\begin{aligned} \int \frac{2x^2+x-4}{x^3-x^2-2x}\ dx&=\int\frac{2}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-2}\ dx \\ &=\int \frac{2}{x}\ dx-\int\frac{1}{x+1}\ dx+\int \frac{1}{x-2}\ dx \\ &=2\ln |x|-\ln |x+1|+\ln |x-2|+C \end{aligned}$


Jadi, hasilnya adalah $\boxed{2\ln |x|-\ln |x+1|+\ln |x-2|+C}$

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Soal dan Pembahasan - Ujian Akhir Semester Kalkulus Lanjut - Prodi Pendidikan Matematika FKIP ULM

Image
Quote ini nanti isinya quote. Soal Nomor 1 Sketsa baji yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang $x=5$ dan $y+2z-4=0$. Tunjukkan bahwa volume tetrahedron tersebut $20$ satuan. Pembahasan Sketsa dari tetrahedron tersebut adalah sebagai berikut. Pertama ubah persamaan $y+2z-4=0$ menjadi $z=\frac{4-y}{2}$, sehingga volume tetrahedron tersebut adalah $\begin{aligned} V&=\int_0^5\int_0^4 \left(\frac{4-y}{2}\right)\ dydx \\ &=\int_0^5\int_0^4 \left(2-\frac1{2}y\right)\ dydx \\ &=\int_0^5 4\ dx \\ &=20 \end{aligned}$ Terbukti. $\blacksquare$ Soal Nomor 2 Hitung $\displaystyle\iint\limits_S e^{x^2+y^2}\ dA$ di kuadran pertama menggunakan koordinat kutub dan dibatasi oleh $x^2+y^2=4$ di antara $y=0$ dan $y=x$ Pembahasan Sketsa dari daerah tersebut adalah sebagai berikut. Karena dibatasi garis $y=0$ dan $y=x$, maka nilai $\theta$ adalah $\frac{\pi}{4}$ Dengan koordinat kutub, maka int...
Read more

Soal dan Pembahasan - Ujian Tengah Semester Kalkulus II Tahun 2020 - Prodi Pendidikan Matematika FKIP ULM

Quote ini nanti isinya quote. Soal Nomor 1 Hitung integral berikut a. $\displaystyle\int\left((x+1)\tan^2\left(3x^2+6x\right)\sec^2\left(3x^2+6x\right)\right)\ dx$ b. $\displaystyle\int_{-1}^1 \frac{\left(y^2+y+1\right)}{\sqrt[5]{2y^3+3y^2+6y}}\ dy$ Pembahasan a. Misalkan $u=3x^2+6x$ dan $du=6(x+1)\ dx$ $=\displaystyle\frac{1}{6}\int\tan^2(u)\sec^2(u)\ du$ Misalkan $s=\tan(u)$ dan $ds=\sec^2(u)\ du$ $\begin{aligned} &=\frac{1}{6}\int s^2\ ds \\ &=\frac{s^3}{18}+C \\ &=\frac{\tan^3(u)}{18}+C \\ &=\boxed{\frac{1}{18}\tan^3(3x^2+6x)+C}\\ \end{aligned}$ b. Misalkan $u=2y^3+3y^2+6y$ dan $du=6(y^2+y+1)\ dx$ $\begin{aligned} &=\frac{1}{6}\int \frac{1}{\sqrt[5]{u}}\ du \\ &=\frac{5u^{4/5}}{24}\Bigg|_{-1}^{1} \\ &=\boxed{\frac{-5}{24}\left((-5)^{4/5}-11^{4/5}\right)}\\ \end{aligned}$ Soal Nomor 2 Carilah $G'(x)$ untuk $\displaystyle G(x)=\int_0^x \left(\int_0...
Read more

Soal dan Pembahasan - Ujian Akhir Semester Fungsi Kompleks A 2020 - Prodi Pendidikan Matematika FKIP ULM

Quote ini nanti isinya quote. Soal Nomor 1 Buktikan $u(x,y)$ harmonik dalam domain definisinya, dan tentukan fungsi $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ jika $u(x,y)=\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}$. Pembahasan $u(x,y)=\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}$ $\begin{aligned} u_x&=\frac{(x^2+y^2)-x(2x)}{(x^2+y^2)^2} \\ &=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} \end{aligned}$ $\begin{aligned} u_{xx}&=\frac{(-2x)(x^2+y^2)^2-(y^2-x^2)2(x^2+y^2)2x}{(x^2+y^2)^4} \\ &=\frac{(-2x)(x^4+2x^2y^2+y^4)-4x(y^4-x^4)}{(x^2+y^2)^4} \\ &=\frac{2x^5-4x^3y^2-6xy^4}{(x^2+y^2)^4} \end{aligned}$ $\begin{aligned} u_y&=\frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2} \end{aligned}$ $\begin{aligned} u_{yy}&=\frac{(-2x)(x^2+y^2)^2-(-2xy)2(x^2+y^2)2y}{(x^2+y^2)^4} \\ &=\frac{(-2x)(x^4+2x^2y^2+y^4)+8xy^2(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^4} \\ &=\frac{-2x^5+4x^3y^2+6xy^4}{(x^2+y^2)^4} \end{aligned}$ Perhatikan bahwa $u_{xx}+u_{yy}=\displaystyle ...
Read more