Soal dan Pembahasan - Ujian Akhir Semester Kalkulus Lanjut - Prodi Pendidikan Matematika FKIP ULM

Quote

ini nanti isinya quote.

Soal Nomor 1
Sketsa baji yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang $x=5$ dan $y+2z-4=0$. Tunjukkan bahwa volume tetrahedron tersebut $20$ satuan.

Sketsa dari tetrahedron tersebut adalah sebagai berikut.

Pertama ubah persamaan $y+2z-4=0$ menjadi $z=\frac{4-y}{2}$, sehingga volume tetrahedron tersebut adalah

$\begin{aligned} V&=\int_0^5\int_0^4 \left(\frac{4-y}{2}\right)\ dydx \\ &=\int_0^5\int_0^4 \left(2-\frac1{2}y\right)\ dydx \\ &=\int_0^5 4\ dx \\ &=20 \end{aligned}$

Terbukti. $\blacksquare$

Soal Nomor 2
Hitung $\displaystyle\iint\limits_S e^{x^2+y^2}\ dA$ di kuadran pertama menggunakan koordinat kutub dan dibatasi oleh $x^2+y^2=4$ di antara $y=0$ dan $y=x$

Sketsa dari daerah tersebut adalah sebagai berikut.

Karena dibatasi garis $y=0$ dan $y=x$, maka nilai $\theta$ adalah $\frac{\pi}{4}$ Dengan koordinat kutub, maka integralnya adalah

$\begin{aligned} \iint\limits_S e^{x^2+y^2}\ dA&=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\int_0^2 e^{r^2} r\ drd\theta \\ &=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2}\left(e^4-1\right)\ d\theta \\ &=\frac{1}{8}\left(e^4-1\right)\pi \end{aligned}$

Jadi, hasil integralnya adalah $\boxed{\displaystyle \frac{1}{8}\left(e^4-1\right)\pi}$

Soal Nomor 3
Tuliskan integral berulang dengan urutan yang diberikan $$\int_0^2\int_0^{4-2y}\int_0^{4-2y-z} f(x,y,z)dx\,dz\,dy;dz\,dy\,dx $$

Pertama, kita harus menggambarnya pada bidang 3 dimensi dengan memasukkan batas-batasnya. Untuk soal di atas batas-batasnya adalah
$x=0$ sampai $x=4-2y-z \ . \ . \ . \ . (1)$
$y=0$ sampai $y=2 \ . \ . \ . \ . \ (2)$
$z=0$ sampai $z=4-2y \ . \ . \ . \ . \ (3)$
Sketsanya adalah sebagai berikut.

Bangun tersebut adalah tetrahedron pada kuadran $\text{I}$.
Perhatikan, kita akan mengubah urutan integralnya menjadi $$dz\ dy\ dx$$ dan untuk urutan tersebut, syarat pada batas-batasnya adalah

• Batas $z$ hanya memuat variabel $y$ atau hanya memuat variabel $y$ dan $x$
• Batas $y$ hanya memuat variabel $x$
• Batas $x$ adalah konstan

Pada persamaan $(1)$ akan dijadikan batas $z$ dan ubah bentuknya menjadi $z=4-x-2y$, sehingga didapatkan batas $z$ yaitu dari $z=0$ sampai $z=4-x-2y$.
Pada persamaan $(1)$ substitusi $z=0$ dan didapatkan $x=4-2y$ ubah bentuknya menjadi $y=2-\frac{x}{2}$, sehingga didapatkan batas $y$ yaitu dari $y=0$ sampai $y=2-\frac{x}{2}$.
Untuk batas $x$ bisa dilihat pada sketsa. Batasnya yaitu dari $x=0$ sampai $x=4$.

Jadi, integral berulangnya adalah $$\boxed{\int_0^4\int_0^{2-\frac{x}{2}}\int_0^{4-x-2y} f(x,y,z)\ dz\,dy\,dx }$$

Soal Nomor 4
Jika $F(x,y,z)=\cos x\underline{i}+\sin y\underline{j}+3\underline{k}$. Tentukan div F dan Curl F

Definisi div dan curl.
Misalkan $\textbf{F}=M\textbf{i}+N\textbf{j}+P\textbf{k}$ adalah vektor untuk turunan parsial dari $M$, $N$, dan $P$ terdefinisi. Maka

$\begin{aligned} \text{div}\ \textbf{F}&= \frac{\partial M}{\partial x}+\frac{\partial N}{\partial y}+\frac{\partial P}{\partial z} \\ \text{curl}\ \textbf{F}&=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ M & N &P \end{vmatrix} \\ &=\begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ N & P \end{vmatrix}\textbf{i}-\begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial z} \\ M & P \end{vmatrix}\textbf{j}+\begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\ M & N \end{vmatrix}\textbf{k} \\ &=\left(\frac{\partial P}{\partial y}- \frac{\partial N}{\partial z}\right)\textbf{i}+\left(\frac{\partial M}{\partial z}- \frac{\partial P}{\partial x}\right)\textbf{j}+\left(\frac{\partial N}{\partial x}- \frac{\partial M}{\partial y}\right)\textbf{k} \end{aligned}$

Pada soal didapatkan $M=\cos x$, $N=\sin y$ dan $P=3$, sehingga

$\begin{aligned} \text{div}\ \textbf{F}&=\boxed{-\sin x+\cos y+0} \\ \text{curl}\ \textbf{F}&=(0-0)\textbf{i}+(0-0)\textbf{j}+(0-0)\textbf{k}\\ &=0\textbf{i}+0\textbf{j}+0\textbf{k}\\ &=\boxed{\textbf{0}} \end{aligned}$

Note: $\textbf{0}$ adalah vektor nol.