Soal dan Pembahasan - Ujian Akhir Semester Statistika Matematika - Prodi Pendidikan Matematika FKIP ULM

Quote

ini nanti isinya quote.

Soal Nomor 1
Variabel random berukuran $n$ dari suatu distribusi yang memiliki CDF $F(x)=1-x^{-2}, x\geq 1$. Tentukan limit distribusi dari $n^{\frac1{2}}X_{n:n}$

$\begin{aligned} F_{\sqrt{n}X_{n:n}}&=P\left(\sqrt{n}X_{n:n}\leq y\right)\\ &=P\left(X_{n:n}\leq \frac{y}{\sqrt{n}}\right)\\ &=F_{X_{n:n}}\left(\frac{y}{\sqrt{n}}\right) \\ &=\left(1-\left(\frac{y}{\sqrt{n}}\right)^{-2}\right)^n \end{aligned}$

$\lim\limits_{n\to \infty } \left(1-\left(\frac{y}{\sqrt{n}}\right)^{-2}\right)^n =\infty$

Jadi, $F_{\sqrt{n}X_{n:n}}(y)$ tidak punya limit distribusi.
Tambahan
Sebagai contoh lain dengan fungsi $F(x)$ yang sama, akan dicari limit distribusi dari $X_{n:n}$ dan $n^{-\frac1{2}}X_{n:n}$.
$\textbf{a.}$ Untuk $X_{n:n}$

$\begin{aligned} F_{X_{n:n}}&=P\left(X_{n:n}\leq y\right)\\ &=\left(1-\frac1{y^2}\right)^n \end{aligned}$

$\lim\limits_{n\to \infty } \left(1-\frac1{y^2}\right)^n =0$

Jadi, $ F_{X_{n:n}}(y)$ tidak punya limit distribusi.
$\textbf{b.}$ Untuk $n^{-\frac1{2}}X_{n:n}$

$\begin{aligned} F_{n^{-\frac1{2}}X_{n:n}}&=P\left(n^{-\frac1{2}}X_{n:n}\leq y\right)\\ &=P\left(\frac1{\sqrt{n}}X_{n:n}\leq y\right)\\ &=P\left(X_{n:n}\leq \sqrt{n}y\right)\\ &=\left(1-\frac1{ny^2}\right)^n, \text{untuk}\ y>\frac{1}{\sqrt{n}} \end{aligned}$

$\lim\limits_{n\to \infty } \left(1-\frac1{ny^2}\right)^n =e^{-y^{-2}}$

Jadi, limit distribusinya adalah$$ G(y) = \begin{cases} e^{-y^{-2}} & y\geq 0 \\ 0 & y<0 \\ \end{cases} $$

Soal Nomor 2
Misalkan $X_1,\ X_2,\ ...,\ X_{100}$ adalah sampel random yang berdistribusi eksponensial, $x_i\sim EXP(1)$ dan misalkan $Y=X_1+X_2+\cdots +X_{100}$. Tentukan aproximasi/pendekatan untuk $P[Y>120]$.

Dengan melihat tabel distribusi didapatkan nilai $\mu$ dan $\sigma$ dari $EXP(1)$ adalah $\mu=1$ dan $\sigma=1$ dan banyaknya data $n=100$. Kemudian diperlukan tabel-$z$ untuk melihat nilai $z=2$

$\begin{aligned} P(Y>120)&=1-P(Y\leq 120) \\ &=1-P(z\leq\frac{120-100\cdot n}{\sqrt{100}\cdot n}) \\ &=1-P(z\leq2) \\ &=1-0.9772\\ &=0.0228 \end{aligned}$


Jadi, aproximasi/pendekatan untuk $P[Y>120]$ adalah $\boxed{0.0228}$

Soal Nomor 3
Misal $Y_1$, $Y_2$ dan $Y_3$ menyatakan statistik terurut dari peubah acak berukuran 3 dari distribusi dengan fkp
$f(x) = \begin{cases} 4x; &\frac{1}{\sqrt{2}} <x<1 \\ 0; & \text{untuk}~x~\text{lainnya}\end{cases}$
Misal $Z=\frac{Y_1+Y_2}{2}$ nilai tengah sampel. Tentukan fkp dari $Z$ dan $E(Y_2)$

Dari fkp didapatkan CDF yaitu $$ F(x) = \begin{cases} 2x^2, & \frac{1}{\sqrt{2}}<x<1 \\ 0, & \text{lainnya} \\ \end{cases} $$ fkp gabungan dari $Y_1$ dan $Y_2$ adalah

$\begin{aligned} g_{i,j}(y_i,y_j)&=\frac{n!}{(i-1)!(j-i-1)!(n-j)!}\cdot[F(y_i)]^{i-1}\cdot[F(y_j)-F(y_i)]^{j-i-1}\cdot [1-F(y_j)]^{n-j}\cdot f(y_i)\cdot f(y_j) \\ g_{1,2}(y_1,y_2)&=\frac{3!}{(1-1)!(2-1-1)!(3-2)!}\cdot[F(y_1)]^{1-1}\cdot[F(y_2)-F(y_1)]^{2-1-1}\cdot [1-F(y_2)]^{3-2}\cdot f(y_1)\cdot f(y_2) \\ &=6\left(1-4y_2^2\right)\cdot 4y_1\cdot 4y_2 \\ &=96\left(y_1y_2-4y_2^3\right), \frac{1}{\sqrt{2}}<y<1 \end{aligned}$

Misal $Z_1=\frac{Y_1+Y_2}{2}$ dengan persamaan $z_1=\frac{y_1+y_2}{2}$ dan $Z_2=Y_2$ dengan persamaan $z_2=y_2$, maka didapatkan

\begin{aligned} y_2&=z_2\\ y_1&=2z_1-z_2 \end{aligned}

Kemudian hitung Jacobian

\begin{aligned} J&=\begin{vmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial z_1} & \frac{\partial y_1}{\partial z_2} \\ \frac{\partial y_2}{\partial z_1} & \frac{\partial y_2}{\partial z_2} \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} 2&-1\\ 0&1 \end{vmatrix} \\ &=2 \end{aligned}

Maka fkp dari $Z_1$ dan $Z_2$ adalah

$\begin{aligned} h(z_1,z_2)&=|J|g_{1,2}(y_1,y_2)\\ &=2\left(96\left((2z_1-z_2)-4z_2^3\right)\right)\\ &=192\left((2z_1-z_2)-4z_2^3\right) \\ &=192\left((2z_1-z_2)-4z_2^3\right);\ \frac{1}{\sqrt{2}}<z_1<z_2<1 \\ &=0;\ \text{lainnya} \end{aligned}$

pdf dari $Z$ adalah

\begin{aligned} h_1(z)&=\int_{z_{1}}^1 192\left((2z_1-z_2)-4z_2^3\right)\ dz_2\\ &= 192\int_{z_{1}}^1\left(2z_1-z_2-4z_2^3\right)\ dz_2\\ &=192\left[2z_1z_2-\frac1{2}z_2^2-z_2^4\right]_{z_1}^1 \\ &=192\left(2z_1-\frac1{2}-1-\left(2z_1^2-\frac1{2}z_1^2-z_1^4\right)\right)\\ &=192\left(z_1^4-\frac3{2}z_1^2+2z_1-\frac3{2}\right);\ \frac1{\sqrt{2}}<z<1 \\ &=0;\ \text{lainnya} \end{aligned}

Jadi, nilai pdf dari $Z$ adalah

$$\boxed{ h_1(z) = \begin{cases} 192\left(z_1^4-\frac3{2}z_1^2+2z_1-\frac3{2}\right), & \frac1{\sqrt{2}}<z<1 \\ 0, & \text{lainnya} \\ \end{cases}} $$

Untuk mencari $E(Y_2)$, terlebih dahulu kita mencari marginal pdf dari $Y_2$

\begin{aligned} g_k(y_k)&=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}\left[F(y_k)\right]^{k-1}\left[1-F(y_k)\right]^{n-k}f(y_k)\\ g_2(y_2)&=\frac{3!}{(2-1)!(3-2)!}\left[F(y_2)\right]^{2-1}\left[1-F(y_2)\right]^{3-2}f(y_2)\\ &=6\left(2y_2^2\right)\left(1-2y_2^2\right)\cdot4y_2 \\ &=48y_2^3-96y_2^5 \end{aligned}

\begin{aligned} E(Y_2)&=\int_{1/\sqrt{2}}^1 y_2 g_2(y_2) dy_2 \\ &=\int_{1/\sqrt{2}}^1 y_2\left(48y_2^3-96y_2^5\right) dy_2 \\ &=\int_{1/\sqrt{2}}^1 \left(48y_2^4-96y_2^6\right) dy_2 \\ &=\left[\frac{48}{5}y_2^5-\frac{96}{7}y_2^7\right]_{1/\sqrt{2}}^1 \\ &=-\frac{12}{35}\left(12+\sqrt{2}\right) \\ &\approx -4.5992 \end{aligned}

Jadi, nilai ekspektasi $\boxed{E(Y_2=-\frac{12}{35}\left(12+\sqrt{2}\right)\approx -4.5992}$

Soal Nomor 4
Misalkan $Y_1\subset Y_2\subset\cdots \subset Y_5$ merupakan statistika rataan berukuran 5 dari sebaran yang memiliki fkp
$f(x) = \begin{cases} \dfrac{2(x+2)}{3}; &0 <x<1 \\ 0; & \text{untuk}~x~\text{lainnya}\end{cases}$
Tentukan fkp dari range yaitu $R=y_{maks}-y_{min}=y_5-y_1$

Dari fkp didapatkan CDF yaitu $$ F(x) = \begin{cases} \frac{2}{3}\left(\frac{x^2}{2}+2x\right), & 0<x<1 \\ 0, & x~\text{lainnya} \\ \end{cases} $$fkp dari gabungan dari $Y_1$ dan $Y_5$ adalah

$\begin{aligned} g_{1,5}(y_1,y_5)&=\frac{5!}{(5-2)!}f(y_1)\left[F(y_5)-F(y_1)\right]^{5-2}f(y_5)\\ &=80\cdot\frac{2}{3}\left(y_1+2\right)\cdot\left[ \frac{2}{3}\left(\frac{y_5^2}{2}+2y_5\right)- \frac{2}{3}\left(\frac{y_1^2}{2}+2y_1\right)\right]^3\cdot \frac{2}{3}\left(y_5+2\right) \\ &=\frac{2560}{243}(y_1+2)(y_5+2)\left[\frac{y_5^2}{2}-\frac{y_1^2}{2}+2y_5-2y_1\right]^3,\ 0<y_1<y_5<1 \end{aligned}$

Buat transormasi $R=Y_5-Y_1$ dan $S=Y_1$ invers transformasinya adalah $y_1=s$ dan $y_5=r+s$ dan $|J|=1$, maka fkp gabungan dari $R$ dan $S$ adalah

$\begin{aligned} h(r,s)&=|J|g_{1,5}(s,r+s) \\ &=\frac{2560}{243}(s+2)(r+s+2)\left[\frac{(r+s)^2}{2}-\frac{s^2}{2}+2(r+s)-2s\right]^3 \\ &=\frac{2560}{243}(s+2)(r+s+2)\left[\frac{r^2+2rs}{2}+2r\right]^3,\ 0<s<1-r,\ 0<r<1 \end{aligned}$

pdf dari $R$ adalah

$\begin{aligned} h_1(r)&=\int_0^{1-r} \frac{2560}{243}(s+2)(r+s+2)\left[\frac{r^2+2rs}{2}+2r\right]^3 ds \\ &=\frac{5}{48}r^3\left(3r^4-98r^3+351r^2-1320r+1064\right);\ 0<r<1 \\ &=0;\ \text{lainnya} \end{aligned}$

Jadi, nilai pdf dari $R$ adalah

$$\boxed{ h_1(r) = \begin{cases} \frac{5}{48}r^3\left(3r^4-98r^3+351r^2-1320r+1064\right), & 0<r<1 \\ 0, & \text{lainnya} \\ \end{cases}} $$

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Soal dan Pembahasan - Ujian Akhir Semester Kalkulus Lanjut - Prodi Pendidikan Matematika FKIP ULM

Image
Quote ini nanti isinya quote. Soal Nomor 1 Sketsa baji yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang $x=5$ dan $y+2z-4=0$. Tunjukkan bahwa volume tetrahedron tersebut $20$ satuan. Pembahasan Sketsa dari tetrahedron tersebut adalah sebagai berikut. Pertama ubah persamaan $y+2z-4=0$ menjadi $z=\frac{4-y}{2}$, sehingga volume tetrahedron tersebut adalah $\begin{aligned} V&=\int_0^5\int_0^4 \left(\frac{4-y}{2}\right)\ dydx \\ &=\int_0^5\int_0^4 \left(2-\frac1{2}y\right)\ dydx \\ &=\int_0^5 4\ dx \\ &=20 \end{aligned}$ Terbukti. $\blacksquare$ Soal Nomor 2 Hitung $\displaystyle\iint\limits_S e^{x^2+y^2}\ dA$ di kuadran pertama menggunakan koordinat kutub dan dibatasi oleh $x^2+y^2=4$ di antara $y=0$ dan $y=x$ Pembahasan Sketsa dari daerah tersebut adalah sebagai berikut. Karena dibatasi garis $y=0$ dan $y=x$, maka nilai $\theta$ adalah $\frac{\pi}{4}$ Dengan koordinat kutub, maka int...
Read more

Soal dan Pembahasan - Ujian Tengah Semester Kalkulus II Tahun 2020 - Prodi Pendidikan Matematika FKIP ULM

Quote ini nanti isinya quote. Soal Nomor 1 Hitung integral berikut a. $\displaystyle\int\left((x+1)\tan^2\left(3x^2+6x\right)\sec^2\left(3x^2+6x\right)\right)\ dx$ b. $\displaystyle\int_{-1}^1 \frac{\left(y^2+y+1\right)}{\sqrt[5]{2y^3+3y^2+6y}}\ dy$ Pembahasan a. Misalkan $u=3x^2+6x$ dan $du=6(x+1)\ dx$ $=\displaystyle\frac{1}{6}\int\tan^2(u)\sec^2(u)\ du$ Misalkan $s=\tan(u)$ dan $ds=\sec^2(u)\ du$ $\begin{aligned} &=\frac{1}{6}\int s^2\ ds \\ &=\frac{s^3}{18}+C \\ &=\frac{\tan^3(u)}{18}+C \\ &=\boxed{\frac{1}{18}\tan^3(3x^2+6x)+C}\\ \end{aligned}$ b. Misalkan $u=2y^3+3y^2+6y$ dan $du=6(y^2+y+1)\ dx$ $\begin{aligned} &=\frac{1}{6}\int \frac{1}{\sqrt[5]{u}}\ du \\ &=\frac{5u^{4/5}}{24}\Bigg|_{-1}^{1} \\ &=\boxed{\frac{-5}{24}\left((-5)^{4/5}-11^{4/5}\right)}\\ \end{aligned}$ Soal Nomor 2 Carilah $G'(x)$ untuk $\displaystyle G(x)=\int_0^x \left(\int_0...
Read more

Soal dan Pembahasan - Ujian Akhir Semester Fungsi Kompleks A 2020 - Prodi Pendidikan Matematika FKIP ULM

Quote ini nanti isinya quote. Soal Nomor 1 Buktikan $u(x,y)$ harmonik dalam domain definisinya, dan tentukan fungsi $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ jika $u(x,y)=\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}$. Pembahasan $u(x,y)=\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}$ $\begin{aligned} u_x&=\frac{(x^2+y^2)-x(2x)}{(x^2+y^2)^2} \\ &=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} \end{aligned}$ $\begin{aligned} u_{xx}&=\frac{(-2x)(x^2+y^2)^2-(y^2-x^2)2(x^2+y^2)2x}{(x^2+y^2)^4} \\ &=\frac{(-2x)(x^4+2x^2y^2+y^4)-4x(y^4-x^4)}{(x^2+y^2)^4} \\ &=\frac{2x^5-4x^3y^2-6xy^4}{(x^2+y^2)^4} \end{aligned}$ $\begin{aligned} u_y&=\frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2} \end{aligned}$ $\begin{aligned} u_{yy}&=\frac{(-2x)(x^2+y^2)^2-(-2xy)2(x^2+y^2)2y}{(x^2+y^2)^4} \\ &=\frac{(-2x)(x^4+2x^2y^2+y^4)+8xy^2(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^4} \\ &=\frac{-2x^5+4x^3y^2+6xy^4}{(x^2+y^2)^4} \end{aligned}$ Perhatikan bahwa $u_{xx}+u_{yy}=\displaystyle ...
Read more