Soal dan Pembahasan - Ujian Tengah Semester Matriks - Prodi Pendidikan Matematika FKIP ULM - Bagian 1

Quote by Pam Leo

You cannot teach children to behave better by making them feel worse. When children feel better, they behave better.

Soal Nomor 1
Dengan menggunakan sifat asosiatif, tunjukkan bahwa

$$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\x_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -x_1+7x_2 \\ -2x_1-6x_2 \end{bmatrix}$$

Asosiatif adalah $A\cdot(B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C$
Misal $A=\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ dan $C=\begin{bmatrix} x_1 \\x_2 \end{bmatrix}$

$\S$ Untuk $(A\cdot B)\cdot C$

$$\begin{aligned} (A\cdot B)\cdot C&=\left(\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}\right) \begin{bmatrix} x_1 \\x_2 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 7 \\ -2 & -6 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -x_1+7x_2 \\ -2x_1-6x_2 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

$\S$ Untuk $A\cdot (B\cdot C)$

$$\begin{aligned} A\cdot (B\cdot C)&=\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \end{bmatrix}\left(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\x_2 \end{bmatrix}\right) \\ &=\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \end{bmatrix}\left(\begin{bmatrix} x_1+2x_2 \\ 2x_!-x_2 \\ 2x_1+3x_2 \end{bmatrix}\right) \\ &= \begin{bmatrix} -x_1+7x_2 \\ -2x_1-6x_2 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

Terbukti $\blacksquare$

Soal Nomor 2
Selidiki apakah $$A=\begin{bmatrix} 2 & 4-i & 3 & i \\ 4+i & 3 & 2-i & 3+i \\ 3 & 2+i & 5 & 1-i \\ -i & 3+i & 1+i & 4 \end{bmatrix}$$ merupakan matriks Hermite

Misal $A$ matriks Hermite, maka berlaku $A=\bar{A'}$. Berdasarkan Teorema IX pada Bab 2, disebutkan bahwa transpos konjugat dari $A$ sama dengan konjugat transpos dari A atau $(\bar{A})'=\bar{A'}$ $$\begin{aligned} A'&=\begin{bmatrix} 2 & 4+i & 3 & -i \\ 4-i & 3 & 2+i & 3+i \\ 3 & 2-i & 5 & 1+i \\ i & 3+i & 1-i & 4 \end{bmatrix} \\ \bar{A'}&=\begin{bmatrix} 2 & 4-i & 3 & i \\ 4+i & 3 & 2-i & 3-i \\ 3 & 2+i & 5 & 1-i \\ -i & 3-i & 1+i & 4 \end{bmatrix} \end{aligned}$$ Didapatkan $A\neq\bar{A'}$, sehingga $A$ bukan matriks Hermite.

Soal Nomor 3
Tanpa menghitung perlihatkan bahwa

$$\begin{vmatrix} a^2 & a & 1 & bcd \\ b^2 & b & 1 & acd \\ c^2 & c & 1 & abd \\ d^2 & d & 1 & abc \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a^3 & a^2 & a & 1\\ b^3 & b^2 & b & 1 \\ c^3 & c^2 & c & 1 \\ d^3 & d^2 & d & 1 \end{vmatrix}=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)$$

$$\begin{vmatrix} a^2 & a & 1 & bcd \\ b^2 & b & 1 & acd \\ c^2 & c & 1 & abd \\ d^2 & d & 1 & abc \end{vmatrix}$$ Baris 1 dikali $a$, baris 2 dikali $b$, baris 3 dikali $c$ dan baris 4 dikali $d$. $$\frac1{abcd}\begin{vmatrix} a^3 & a^2 & a & abcd \\ b^3 & b^2 & b & abcd \\ c^3 & c^2 & c & abcd \\ d^3 & d^2 & d & abcd \end{vmatrix}$$ Faktorkan $abcd$ pada kolom 4 $$\begin{vmatrix} a^3 & a^2 & a & 1\\ b^3 & b^2 & b & 1 \\ c^3 & c^2 & c & 1 \\ d^3 & d^2 & d & 1 \end{vmatrix}$$ Baris 1 kurang baris 2, baris 2 kurang baris 3, baris 3 kurang baris 4. $$\begin{vmatrix} a^3-b^3 & a^2-b^2 & a-b & 0\\ b^3-c^3 & b^2-c^2 & b-c & 0 \\ c^3-d^3 & c^2-d^2 & c-d & 0 \\ d^3 & d^2 & d & 1 \end{vmatrix}$$ Faktorkan $(a-b)$ di baris 1, $(b-c)$ di baris 2 dan $(c-d)$ di baris 4.

$$(a-b)(b-c)(c-d)\begin{vmatrix} a^2+ab+b^2 & a+b & 1 & 0\\ b^2+bc+c^2 & b+c & 1 & 0 \\ c^2+cd+d^2 & c+d & 1 & 0 \\ d^3 & d^2 & d & 1 \end{vmatrix}$$

Baris 1 kurang baris 2 dan baris 2 kurang baris 3

$$(a-b)(b-c)(c-d)\begin{vmatrix} a^2-c^2+b(a-c) & a-c & 0 & 0\\ b^2-d^2+c(b-d) & b-d & 0 & 0 \\ c^2+cd+d^2 & c+d & 1 & 0 \\ d^3 & d^2 & d & 1 \end{vmatrix}$$

Faktorkan $(a-c)$ di baris 1 dan $(b-d)$ di baris 2.

$$(a-b)(b-c)(c-d)(a-c)(b-d)\begin{vmatrix} a+b+c & 1 & 0 & 0\\ b+c+d & 1 & 0 & 0 \\ c^2+cd+d^2 & c+d & 1 & 0 \\ d^3 & d^2 & d & 1 \end{vmatrix}$$

Baris 1 kurang baris 2

$$(a-b)(b-c)(c-d)(a-c)(b-d)\begin{vmatrix} a-d & 0 & 0 & 0\\ b+c+d & 1 & 0 & 0 \\ c^2+cd+d^2 & c+d & 1 & 0 \\ d^3 & d^2 & d & 1 \end{vmatrix}$$

Faktorkan $(a-d)$ di baris 1

$$(a-b)(b-c)(c-d)(a-c)(b-d)(a-d)\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ b+c+d & 1 & 0 & 0 \\ c^2+cd+d^2 & c+d & 1 & 0 \\ d^3 & d^2 & d & 1 \end{vmatrix}$$

Karena sudah membentuk matriks segitiga, maka determinannya adalah hasil perkalian elemen-elemen pada diagonal utama. Didapatkan determinannya adalah 1. Sehingga didapatkan

$$(a-b)(b-c)(c-d)(a-c)(b-d)(a-d)$$

Terbukti. $\blacksquare$

Soal Nomor 4
Dengan menggunakan minor baris pertama dan ketiga tunjukkan bahwa

$$\begin{vmatrix} 2 & 3 & -2 & 4 \\ 3 & 2 & 3 & 7 \\ -2 & 4 & 0 & 5 \\ 7 & 4 & -3 & 10 \end{vmatrix}=-286$$

$$\begin{aligned} \begin{aligned}\left|A\right|&=(-1)^{1+3+1+2}\left|A_{1,3}^{1,2}\right|\left|A_{2,4}^{3,4}\right| +(-1)^{1+3+1+3}\left|A_{1,3}^{1,3}\right|\left|A_{2,4}^{2,4}\right| \\ &\qquad +(-1)^{1+3+1+4}\left|A_{1,3}^{1,4}\right|\left|A_{2,4}^{2,3}\right| +(-1)^{1+3+2+3}\left|A_{1,3}^{2,3}\right|\left|A_{2,4}^{1,4}\right| \\ &\qquad +(-1)^{1+3+2+4}\left|A_{1,3}^{2,4}\right|\left|A_{2,4}^{1,3}\right| +(-1)^{1+3+3+4}\left|A_{1,3}^{3,4}\right|\left|A_{2,4}^{1,2}\right| \\ &=-\begin{vmatrix} 2 & 3\\ -2 & 4 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 3 & 7\\ -3 & 10 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 2 & -2\\ -2 & 0 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 2 & 7\\ 4 & 10 \end{vmatrix} \\ &\qquad -\begin{vmatrix} 2 & 4\\ -2 & 5 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 4 & -3 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 3 & -2\\ 4 & 0 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 3 & 7\\ 7 & 10 \end{vmatrix} \\ &\qquad +\begin{vmatrix} 3 & 4\\ 4 & 5 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 3 & 3\\ 7 & -3 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} -2 & 4\\ 0 & 5 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 3 & 2\\ 7 & 4 \end{vmatrix}\\ &=-14\cdot 51-4\cdot(-8)-18\cdot(-18)-8\cdot (-19)-1\cdot(-30)+10\cdot(-2) \\ &=-196 \end{aligned}&&& \end{aligned}$$

Tidak terbukti. $\blacksquare$

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Soal dan Pembahasan - Ujian Akhir Semester Kalkulus Lanjut - Prodi Pendidikan Matematika FKIP ULM

Image
Quote ini nanti isinya quote. Soal Nomor 1 Sketsa baji yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang $x=5$ dan $y+2z-4=0$. Tunjukkan bahwa volume tetrahedron tersebut $20$ satuan. Pembahasan Sketsa dari tetrahedron tersebut adalah sebagai berikut. Pertama ubah persamaan $y+2z-4=0$ menjadi $z=\frac{4-y}{2}$, sehingga volume tetrahedron tersebut adalah $\begin{aligned} V&=\int_0^5\int_0^4 \left(\frac{4-y}{2}\right)\ dydx \\ &=\int_0^5\int_0^4 \left(2-\frac1{2}y\right)\ dydx \\ &=\int_0^5 4\ dx \\ &=20 \end{aligned}$ Terbukti. $\blacksquare$ Soal Nomor 2 Hitung $\displaystyle\iint\limits_S e^{x^2+y^2}\ dA$ di kuadran pertama menggunakan koordinat kutub dan dibatasi oleh $x^2+y^2=4$ di antara $y=0$ dan $y=x$ Pembahasan Sketsa dari daerah tersebut adalah sebagai berikut. Karena dibatasi garis $y=0$ dan $y=x$, maka nilai $\theta$ adalah $\frac{\pi}{4}$ Dengan koordinat kutub, maka int...
Read more

Soal dan Pembahasan - Ujian Tengah Semester Kalkulus II Tahun 2020 - Prodi Pendidikan Matematika FKIP ULM

Quote ini nanti isinya quote. Soal Nomor 1 Hitung integral berikut a. $\displaystyle\int\left((x+1)\tan^2\left(3x^2+6x\right)\sec^2\left(3x^2+6x\right)\right)\ dx$ b. $\displaystyle\int_{-1}^1 \frac{\left(y^2+y+1\right)}{\sqrt[5]{2y^3+3y^2+6y}}\ dy$ Pembahasan a. Misalkan $u=3x^2+6x$ dan $du=6(x+1)\ dx$ $=\displaystyle\frac{1}{6}\int\tan^2(u)\sec^2(u)\ du$ Misalkan $s=\tan(u)$ dan $ds=\sec^2(u)\ du$ $\begin{aligned} &=\frac{1}{6}\int s^2\ ds \\ &=\frac{s^3}{18}+C \\ &=\frac{\tan^3(u)}{18}+C \\ &=\boxed{\frac{1}{18}\tan^3(3x^2+6x)+C}\\ \end{aligned}$ b. Misalkan $u=2y^3+3y^2+6y$ dan $du=6(y^2+y+1)\ dx$ $\begin{aligned} &=\frac{1}{6}\int \frac{1}{\sqrt[5]{u}}\ du \\ &=\frac{5u^{4/5}}{24}\Bigg|_{-1}^{1} \\ &=\boxed{\frac{-5}{24}\left((-5)^{4/5}-11^{4/5}\right)}\\ \end{aligned}$ Soal Nomor 2 Carilah $G'(x)$ untuk $\displaystyle G(x)=\int_0^x \left(\int_0...
Read more

Soal dan Pembahasan - Ujian Akhir Semester Fungsi Kompleks A 2020 - Prodi Pendidikan Matematika FKIP ULM

Quote ini nanti isinya quote. Soal Nomor 1 Buktikan $u(x,y)$ harmonik dalam domain definisinya, dan tentukan fungsi $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ jika $u(x,y)=\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}$. Pembahasan $u(x,y)=\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}$ $\begin{aligned} u_x&=\frac{(x^2+y^2)-x(2x)}{(x^2+y^2)^2} \\ &=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} \end{aligned}$ $\begin{aligned} u_{xx}&=\frac{(-2x)(x^2+y^2)^2-(y^2-x^2)2(x^2+y^2)2x}{(x^2+y^2)^4} \\ &=\frac{(-2x)(x^4+2x^2y^2+y^4)-4x(y^4-x^4)}{(x^2+y^2)^4} \\ &=\frac{2x^5-4x^3y^2-6xy^4}{(x^2+y^2)^4} \end{aligned}$ $\begin{aligned} u_y&=\frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2} \end{aligned}$ $\begin{aligned} u_{yy}&=\frac{(-2x)(x^2+y^2)^2-(-2xy)2(x^2+y^2)2y}{(x^2+y^2)^4} \\ &=\frac{(-2x)(x^4+2x^2y^2+y^4)+8xy^2(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^4} \\ &=\frac{-2x^5+4x^3y^2+6xy^4}{(x^2+y^2)^4} \end{aligned}$ Perhatikan bahwa $u_{xx}+u_{yy}=\displaystyle ...
Read more