Soal dan Pembahasan - Ujian Tengah Semester Kalkulus Lanjut - Prodi Pendidikan Matematika FKIP ULM (Bagian 1)

Quote by Pam Leo

You cannot teach children to behave better by making them feel worse. When children feel better, they behave better.

Soal Nomor 1
Ujilah, apakah fungsi berikut ini maksimum relatif atau minimum relatif? $$f(x,y)=2x^2+y^2+6xy+10x-6y+5$$

Untuk mengujinya digunakan Teorema C Uji Parsial Kedua Andaikan $(x,y)$ mempunyai turunan parsial kedua pada persekitaran $(x_0,y_0)$ dan $\nabla f(x_0,y_0)=0$. Misalkan $$D=D(x_0,y_0)=f_{xx}(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)-f^2{xy}(x_0,y_0)$$ maka

1. Jika $D > 0$ dan $f_{xx}(x_0,y_0)<0$, maka $f(x_0,y_0)$ adalah sebuah nilai maksimum lokal.
2. Jika $D > 0$ dan $f_{xx}(x_0,y_0)>0$, maka $f(x_0,y_0)$ adalah sebuah nilai minimum lokal.
3. Jika $D < 0$, maka $f(x_0,y_0)$ adalah bukan sebuah nilai ekstrem $(x_0,y_0)$ adalah sebuah titik pelana).
4. Jika $D=0$, maka uji yang dilakukan tidak mempunyai hasil/tidak dapat disimpulkan.

Untuk soal tersebut didapatkan

• $f_x(x_0,y_0)=4x+6y+10$
• $f_{xx}(x_0,y_0)=4$
• $f_y(x_0,y_0)=2y+6x+-6$
• $f_{yy}(x_0,y_0)=2$
• $f_{xy}(x_0,y_0)=6$

Substitusi nilai-nilai tersebut ke dalam rumus pada Teorema C dan dihasikan $$\begin{aligned} D&=f_{xx}(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)-f^2{xy}(x_0,y_0) \\ &=4\cdot 2-6^2 \\ &=-28 \end{aligned}$$ Didapatkan nilai $D<0$ sehingga bisa disimpulkan bahwa $f(x_0,y_0)$ bukan nilai ekstrem.

Soal Nomor 2
Sebuah kotak tanpa tutup memiliki volume 32 cm$^3$. Kotak tersebut terbuat dari emas murni. Jika harga emas per cm$^2$ adalah Rp25.000.000,00, tentukan biasa minimum yang diperlukan untuk membuat kotak tersebut.

Misalkan $S$ adalah luas dan $V$ adalah volume dari kotak tersebut yang memiliki panjang $x$, lebar $y$ dan tinggi $z$. Maka $$\begin{aligned} S&=xy+2yz+2xz \\ V&=xyz=32 \end{aligned}$$ Dari persamaan (2) didapatkan $z=\frac{32}{xy}$, substitusi ke persamaan (1) $$\begin{aligned} S&=xy+2yz+2xz && \\ &=xy+2(x+y)\frac{32}{xy} &&\\ &=xy+64\left(\frac1{x}+\frac1{y}\right) \end{aligned}$$ Maka didapatkan $$\begin{aligned} \frac{\partial S}{\partial x}&=y-\frac{64}{x^2}\\ \frac{\partial S}{\partial y}&=x-\frac{64}{y^2}\\ \frac{\partial^2 S}{\partial x^2}&=\frac{128}{x^3}\\ \frac{\partial^2 S}{\partial x \partial y}&=1\\ \frac{\partial^2 S}{\partial y^2}&=\frac{128}{y^3} \end{aligned}$$ Nilai stasionernya adalah $$\frac{\partial S}{\partial x}=y-\frac{64}{x^2}=0\ \text{dan}\ \frac{\partial S}{\partial y}=x-\frac{64}{y^2}=0$$ Selesaikan persamaan tersebut dan didapatkan $x=y=4$. Pada titik $(4,4)$ uji menggunakan Teorema C untuk memperkuat jawaban. $$\begin{aligned} D&=f_{xx}(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)-f^2{xy}(x_0,y_0) \\ &=\frac{128}{x^2}\cdot \frac{128}{y^2}-1\\ &=\frac{128}{64}\cdot \frac{128}{64} -1 \\ &=3 \\ \frac{\partial^2 S}{\partial x^2}&=\frac{128}{x^3} \\ &=\frac{128}{64} \\ &=2 \end{aligned}$$ Didapatkan nilai $D>0$ dan $f_{xx}>0$ sehingga $S$ minimum pada $x=y=4$. Kemudian dari persamaan $(2)$ didapat nilai $z=2$, sehingga ukuran kotak tersebut adalah panjang 4 cm, lebar 4 cm dan tinggi 2 cm. Substitusi nilai tersebut ke persamaan (1) $$\begin{aligned} S&=xy+2yz+2xz \\ &=4\cdot 4+2\cdot 4\cdot 2+2\cdot 4\cdot 2 \\ &=16+16+16 \\ &=48 \end{aligned}$$ Total biaya yang diperlukan adalah Rp25.000.000,00/cm$^2$ $\times$ 48 cm$^2$ adalah $\boxed{\text{Rp}1.344.000.000,00}$

Soal Nomor 3
Buktikan bahwa $\displaystyle \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}+\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=0$, untuk fungsi $f(x,y)=\tan^{-1}xy$

Dengan menggunakan Aturan Rantai didapatkan $$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial y}\left(\tan^{-1}xy\right)&=\frac{\partial \left(\tan^{-1}xy\right)}{\partial (xy)}\cdot \frac{\partial (xy)}{\partial y} \\ &=\frac1{1+(xy)^2}\cdot x \\ &=\frac{x}{1+x^2y^2} \end{aligned}$$ Untuk turunan kedua, misalkan $u=x$ dan $v=1+x^2y^2$ $$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{u}{v}\right)&=\frac{v\frac{\partial u}{\partial x}-u\frac{\partial v}{\partial x}}{v^2} \\ &=\frac{\left(1+x^2y^2\right)\left(\frac{\partial}{\partial x} (x)\right)-x\left(\frac{\partial}{\partial x}\left(1+x^2y^2\right)\right)}{\left(1+x^2y^2\right)^2} \\ &=\frac{1+x^2y^2-x\left(2xy^2\right)}{\left(1+x^2y^2\right)^2} \\ &=\frac{1+x^2y^2-2x^2y^2}{\left(1+x^2y^2\right)^2} \\ \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}&=\frac{1-x^2y^2}{\left(1+x^2y^2\right)^2} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}\left(\tan^{-1}xy\right)&=\frac{\partial \left(\tan^{-1}xy\right)}{\partial (xy)}\cdot \frac{\partial (xy)}{\partial x} && \\ &=\frac1{1+(xy)^2}\cdot y && \\ &=\frac{y}{1+x^2y^2} \end{aligned}$$ Untuk turunan kedua, misalkan $u=y$ dan $v=1+x^2y^2$ $$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{u}{v}\right)&=\frac{v\frac{\partial u}{\partial y}-u\frac{\partial v}{\partial y}}{v^2} \\ &=\frac{\left(1+x^2y^2\right)\left(\frac{\partial}{\partial y} (y)\right)-y\left(\frac{\partial}{\partial y}\left(1+x^2y^2\right)\right)}{\left(1+x^2y^2\right)^2} \\ &=\frac{1+x^2y^2-y\left(2x^2y\right)}{\left(1+x^2y^2\right)^2} \\ &=\frac{1+x^2y^2-2x^2y^2}{\left(1+x^2y^2\right)^2} \\ \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}&=\frac{1-x^2y^2}{\left(1+x^2y^2\right)^2} \end{aligned}$$ $$\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}+\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=\frac{1-x^2y^2}{\left(1+x^2y^2\right)^2}+\frac{1-x^2y^2}{\left(1+x^2y^2\right)^2}=\frac{2\left(1-x^2y^2\right)}{\left(1+x^2y^2\right)^2}$$ Tidak terbukti $\blacksquare$